《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

[例]①求函数y=3c(os($\frac{1}{3}$−$\frac{x}{2}${的单调递减区间;
②求函数y=lgsinx的单调递增区间。
[答]①γ=3cos($\frac{A}{3}$−$\frac{x}{2}$)=3cos$\frac{x}{2}$二$\frac{H}{3}$)o
令2kπ≤$\frac{x}{2}$−$\frac{H}{3}$≤π+2kπ,k∈Z,
所以$\frac{A}{3}$+2kπ≤$\frac{x}{2}$≤$\frac{4}{3}$π+2kπ,k∈Z,
第所以$\frac{2}{3}$π+4kπ≤x≤$\frac{8}{3}$π+4kπ,k∈Z,
∵2−cosx∈[1,3],∴$\frac{4}{2−cosx}$E$\frac{4}{3}$,4],
∴y∈[$\frac{1}{3}$,3」,当cosx=1时,y取最大值3。
方法二:y=$\frac{2+cosx}{2−cosx}$可化为(y+1)cosx=
2(y−1)。
∵y+1=$\frac{4}{2−cosx}$≠0,∴cosx=2(yy+−11)°
由lcosx|=|2(yy+−11)|≤1,

答案： 解得$\frac{1}{3}$≤y≤3,
故当cosx=1时,y取最大值3。
答(1)−1
(2)−4
(3)3
例4−1
函数y=2sSin(($\frac{A}{3}$−2x)+1的单调递增区间
为

。
解方法一:y=2sin($\frac{H}{3}$−2x)+1=
2sin|π−($\frac{A}{3}$−2x)}+1=2sin(2x+$\frac{2π}{3}${+1。
令2kπ−$\frac{H}{2}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{1}{2}$,k∈Z,
得kπ−$\frac{7}{12}$π≤x≤kπ−$\frac{1}{12}$,k∈Z。
由k的任意性可知函数的单调递增区间为
[kπ+$\frac{5π}{12}$,kπ+12],k∈Z。
方法二:y =2sin($\frac{1}{3}$−2x{+1 =
−2sin(2x−$\frac{1}{3}$)+1,求它的单调递增区间,
即求函数y=sin(2x−$\frac{H}{3}${的单调递减区间。由2kπ+$\frac{1}{2}$≤2x−$\frac{H}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,k∈Z,得kTT+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$,k∈Z。故所求函数的单调递增区间为|[kπ+$\frac{5π}{12}$'kπ+$\frac{11}{12}$],keZ。
方法三:函数y=2sinx的单调递减区间为$\frac{1}{2}$+2kπ,$\frac{3π}{2}$+2kπ」,k∈Z,函数y=$\frac{A}{3}$−2x
所以f(x)的单调递减区间为[$\frac{2}{3}$π+4kπ,$\frac{8}{3}$π+4kπ」,k∈Z。
②设t=sinx,则y=lgt,t∈(0,1]。因为y=lgt 单调递增,所以求y=lgsinx的增区间,只需求t=sinx的增区间且t＞0的部分,所以2kπ＜x≤$\frac{H}{2}$+2kπ,k∈Z,所以函数y=lgsinx的单调递增区间为(2kπ,2kπ+$\frac{A}{2}$],keZ。