《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4-2 2024·浙江镇海中学期中
已知函数$f(x)$在定义域$[0,+\infty)$上单调递减，则$f(1 - x^{2})$的定义域是______，单调递减区间是______。

答案： 解
∵ $ f(x) $ 的定义域为 $[0, +\infty)$，
∴ $ 1 - x^2 \geq 0 $，即 $ x^2 \leq 1 $，解得 $ -1 \leq x \leq 1 $。故函数 $ f(1 - x^2) $ 的定义域为 $[-1, 1]$。令 $ u = 1 - x^2 (u \geq 0) $，则 $ f(1 - x^2) = f(u) $。当 $ x \in [0, 1] $ 时，$ u = 1 - x^2 $ 单调递减，则 $ f(1 - x^2) $ 单调递增；当 $ x \in [-1, 0] $ 时，$ u = 1 - x^2 $ 单调递增，则 $ f(1 - x^2) $ 单调递减，故 $ f(1 - x^2) $ 的单调递减区间为 $[-1, 0]$。
答
$[-1, 1]$ $[-1, 0]$

2024·安徽合肥一中期中
(1)求函数$y = |x^{2}+2x - 3|$的增区间与减区间；
(2)作出函数$f(x)=\sqrt{x^{2}-6x + 9}+\sqrt{x^{2}+6x + 9}$的图像，并指出其单调区间。

答案：
答
(1)令$f(x)=x^{2}+2x - 3=(x + 1)^{2}-4$，作出$f(x)$的图像，保留其在$x$轴上及$x$轴上方的部分，将位于$x$轴下方的部分翻折到$x$轴上方，得到$y = |x^{2}+2x - 3|$的图像，如图5-3-4所示。

由图像得函数$y = |x^{2}+2x - 3|$的增区间是$[-3,-1]$和$[1,+\infty)$，减区间是$(-\infty,-3)$和$(-1,1)$。
(2)函数$f(x)$可化为$f(x)=|x - 3|+|x + 3|=$
$\left\{ \begin{array}{l} - 2x,x \leq - 3,\\ 6, - 3 ＜ x \leq 3,\\ 2x,x ＞ 3。 \end{array} \right.$
作出函数$f(x)$的图像如图$5 - 3 - 5$所示。

由图像知函数$f(x)$的单调区间为$(-\infty,-3]$，$[3,+\infty)$。其中，减区间为$(-\infty,-3]$，增区间为$[3,+\infty)$。