《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例2
扇面(如图7-1-2-6所示)是中国书画一种常见的表现形式。某班级想用布料制作一面圆心角为$120^{\circ}$的扇面。若扇面的外圆半径为$50\ cm$，内圆半径为$20\ cm$，则制作这面扇面需要的布料为$ cm^2$。(用数字作答，$\pi$取$3.14$)
错解 由题意，得外扇形的面积$ S_{1}=\frac{1}{2}×120×50^{2}( cm^2) $，内扇形的面积$ S_{2}=\frac{1}{2}×120×20^{2}( cm^2) $，所以扇面面积$ S=\frac{1}{2}×120×50^{2}-\frac{1}{2}×120×20^{2}=126000( cm^2) $。
错因分析 计算外扇形的面积时，选用了弧度制下的扇形面积公式，但没有将角度化为弧度。
正解 $120^{\circ}=\frac{2\pi}{3}$，则外扇形的面积$ S_{1}=\frac{1}{2}×\frac{2\pi}{3}×50^{2}( cm^2) $，内扇形的面积$ S_{2}=\frac{1}{2}×\frac{2\pi}{3}×20^{2}( cm^2) $，所以扇面面积$ S=\frac{1}{2}×\frac{2\pi}{3}×50^{2}-\frac{1}{2}×\frac{2\pi}{3}×20^{2}=700\pi=2198( cm^2) $。

答案：
答 2198

例3
已知$\frac{\pi}{4}+2k\pi＜\alpha＜\frac{3}{4}\pi+2k\pi,2k\pi＜\beta＜\frac{\pi}{4}+2k\pi$，其中$k\in\mathbf{Z}$，求$\alpha+\beta$的取值范围。
错解 因为$\frac{\pi}{4}+2k\pi＜\alpha＜\frac{3}{4}\pi+2k\pi$，①
$2k\pi＜\beta＜\frac{\pi}{4}+2k\pi$，②
①+②，得$\frac{\pi}{4}+4k\pi＜\alpha+\beta＜\pi+4k\pi,k\in\mathbf{Z}$。
错因分析 错解中对终边相同的角的概念理解不透彻，误认为①和②中的$ k $一定相同，这是不正确的。
正解 因为$\frac{\pi}{4}+2k_{1}\pi＜\alpha＜\frac{3}{4}\pi+2k_{1}\pi,k_{1}\in\mathbf{Z}$，$2k_{2}\pi＜\beta＜\frac{\pi}{4}+2k_{2}\pi,k_{2}\in\mathbf{Z}$，所以$\frac{\pi}{4}+2(k_{1}+k_{2})\pi＜\alpha+\beta＜\pi+2(k_{1}+k_{2})\pi,k_{1}+k_{2}\in\mathbf{Z}$。又$k_{1},k_{2}\in\mathbf{Z}$，所以存在整数$ k $，使得$k=k_{1}+k_{2}$，所以$\frac{\pi}{4}+2k\pi＜\alpha+\beta＜\pi+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$。

答案： 因为$\frac{\pi}{4} + 2k_1\pi ＜ \alpha ＜ \frac{3\pi}{4} + 2k_1\pi$，$k_1 \in \mathbf{Z}$，
$2k_2\pi ＜ \beta ＜ \frac{\pi}{4} + 2k_2\pi$，$k_2 \in \mathbf{Z}$，
两式相加得$\frac{\pi}{4} + 2(k_1 + k_2)\pi ＜ \alpha + \beta ＜ \pi + 2(k_1 + k_2)\pi$，
令$k = k_1 + k_2$，由于$k_1, k_2 \in \mathbf{Z}$，则$k \in \mathbf{Z}$，
所以$\alpha + \beta$的取值范围是$\left( \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \pi + 2k\pi \right)$，$k \in \mathbf{Z}$。