《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1
（1）（2025·江苏南京高一期末）（多选）若$a＞b＞0$，则（）。
A. $a^{3}＞b^{3}$
B. $ab＜b^{2}$
C. $\frac {1}{a}+\frac {1}{b}＞\frac {1}{a+b}$
D. $\frac {a}{b}+\frac {b}{a}＜2$
（2）设$0＜a＜b$，则下列不等式中正确的是（）。
A. $a＜b＜\sqrt {ab}＜\frac {a+b}{2}$
B. $a＜\sqrt {ab}＜\frac {a+b}{2}＜b$
C. $a＜\sqrt {ab}＜b＜\frac {a+b}{2}$
D. $\sqrt {ab}＜a＜\frac {a+b}{2}＜b$
（3）“$ab＜\frac {a^{2}+b^{2}}{2}$”是“$a＞b＞0$”的（）。
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件

答案： 解 （1）由$a＞b＞0$，得$a^{3}＞b^{3}$，A正确；由$a＞b＞0$，得$ab＞b^{2}$，B错误；由$a＞b＞0$，得$a+b＞a＞b＞0$，则$\frac {1}{a+b}＜\frac {1}{a}＜\frac {1}{b}$，则$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}＞\frac {1}{a+b}$，C正确；由$a＞b＞0$，得$\frac {a}{b}＞1＞\frac {b}{a}＞0$，则$\frac {a}{b}+\frac {b}{a}＞2\sqrt {\frac {a}{b}· \frac {b}{a}}=2$，D错误。故选AC。
（2）$0＜a＜b\Rightarrow a^{2}＜ab＜b^{2}\Rightarrow a＜\sqrt {ab}＜b$，$0＜a＜b\Rightarrow 2a＜a+b＜2b\Rightarrow a＜\frac {a+b}{2}＜b$。又$\sqrt {ab}＜\frac {a+b}{2}$，所以$a＜\sqrt {ab}＜\frac {a+b}{2}＜b$。故选B。
（3）$ab＜\frac {a^{2}+b^{2}}{2}\Rightarrow a≠b,a,b\in \mathbf{R}$，充分性不成立，由$a＞b＞0\Rightarrow \frac {a^{2}+b^{2}}{2}＞ab$，必要性成立。故选B。
答 （1）AC （2）B （3）B