《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

【例】求函数y = √(2 sin²x + cos x - 1)的定义域。
【解】要使函数式有意义，根号下的多项式要大于或等于0，然后观察发现其既含有正弦函数又含有余弦函数，因此考虑利用同角三角函数的平方关系转化为关于cos x的不等式求解。
答 为使函数有意义，需满足2 sin²x + cos x - 1 ≥ 0，即2 cos²x - cos x - 1 ≤ 0，解得 -1/2 ≤ cos x ≤ 1。结合余弦函数的图像或单位圆，如图7-3-2-12所示，


可得所求定义域为{x | 2kπ - 2π/3 ≤ x ≤ 2kπ + 2π/3, k ∈ Z}。

答案： 要使函数 $ y = \sqrt{2 \sin^2 x + \cos x - 1} $ 有意义，需满足：
$2 \sin^2 x + \cos x - 1 \geq 0$。
利用同角三角函数的平方关系 $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $，代入上式得：
$2(1 - \cos^2 x) + \cos x - 1 \geq 0$，
化简为：
$2 - 2\cos^2 x + \cos x - 1 \geq 0$，
即：
$2\cos^2 x - \cos x - 1 \leq 0$。
解这个二次不等式，设 $ \cos x = t $，则不等式变为：
$2t^2 - t - 1 \leq 0$。
解得：
$-\frac{1}{2} \leq t \leq 1$。
即：
$-\frac{1}{2} \leq \cos x \leq 1$。
结合余弦函数的图像或单位圆，可得 $ x $ 的取值范围为：
$2k\pi - \frac{2\pi}{3} \leq x \leq 2k\pi + \frac{2\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$。
所以，函数 $ y = \sqrt{2 \sin^2 x + \cos x - 1} $ 的定义域为：
$\left\{ x \mid 2k\pi - \frac{2\pi}{3} \leq x \leq 2k\pi + \frac{2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} \right\}$。