《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3 2022·南京大学强基测试
已知$x,y,z$满足$x + y + z = 1$,则$x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2}$的
最小值为。

答案： 解 由柯西不等式得$(x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2}) ·$
$(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9}) \geq1$，因此$x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2} \geq \frac{36}{49}$，当且
仅当
$\begin{cases} x + y + z = 1,\\x : 2y : 3z = 1 : \frac{1}{2} : \frac{1}{3}, \end{cases}$即$x = \frac{36}{49},y = \frac{9}{49},z = \frac{4}{49}$时，等
号成立。故$x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2}$的最小值为$\frac{36}{49}$。
答 $\frac{36}{49}$

例4 2022·上海交大强基测试
已知$x,y,z$为正数，求$\frac{10x^{2} + 10y^{2} + z^{2}}{xy + yz + xz}$的最小值。

答案： 答 $\frac{10x^{2} + 10y^{2} + z^{2}}{xy + yz + xz} =$
$\frac{(2x^{2} + 2y^{2}) + (8x^{2} + \frac{1}{2}z^{2}) + (8y^{2} + \frac{1}{2}z^{2})}{xy + yz + xz} \geq$
$\frac{4xy + 4xz + 4yz}{xy + yz + xz} = 4$，当且仅当$x = y = \frac{1}{4}z$时等号
成立。故$\frac{10x^{2} + 10y^{2} + z^{2}}{xy + yz + xz}$的最小值为$4$。

例5 2022·全国高中数学联赛山东赛区初赛
用$\lbrack x\rbrack$表示不超过$x$的最大整数，则
方程$2\lbrack2x - 1\rbrack^{2} + \lbrack2x - 1\rbrack - 1 = 0$的解集
为。

答案： 解 由$2\lbrack2x - 1\rbrack^{2} + \lbrack2x - 1\rbrack - 1 = 0$，得$\lbrack2x -$
$1\rbrack = - 1$，所以$- 1\leq2x - 1 ＜ 0$，即$0\leq x ＜ \frac{1}{2}$。
答 $\{x|0\leq x ＜ \frac{1}{2}\}$

例6 2022·全国高中数学联赛一试B卷
不等式$\frac{20}{x - 9} ＞ \frac{22}{x - 11}$的解集为。

答案： 解 移项通分可得$\frac{20(x - 11) - 22(x - 9)}{(x - 9)(x - 11)} ＞ 0$，
进一步整理得$\frac{x + 11}{(x - 9)(x - 11)} ＜ 0$，则解集为
$\{x|x ＜ - 11或9 ＜ x ＜ 11\}$。
答 $\{x|x ＜ - 11或9 ＜ x ＜ 11\}$

例7 2022·全国高中数学联赛甘肃赛区预赛
已知集合$A = \{ x|x^{2} + 2x - 8 ＞ 0\},B = \{ x|x^{2} -$
$2ax + 4\leq0\}$,若$a ＞ 0$,且$A \cap B$中恰有一个整
数，则$a$的取值范围是。

答案： 解 由题意知集合$A = \{ x|x ＜ - 4$或$x ＞ 2\}$，可
记集合$B = \{ x|x_{1}\leq x\leq x_{2}\}$，由于$x_{1} + x_{2} = 2a ＞$
$0,x_{1}x_{2} = 4,A \cap B$中恰有一个整数，显然$0 ＜ x_{1} ＜$
$2,x_{2} ＞ 2,A \cap B$中的整数为$3$，于是$3\leq x_{2} ＜ 4$，即
$\begin{cases}9 - 6a + 4 \leq 0,\\16 - 8a + 4 ＞ 0,\end{cases}$
解得$\frac{13}{6} \leq a ＜ \frac{5}{2}$，所以$a$的取值
范围是$\{a|\frac{13}{6} \leq a ＜ \frac{5}{2}\}$。
答 $\{a|\frac{13}{6} \leq a ＜ \frac{5}{2}\}$