《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3-2
（多选）若$a＞0,b＞0$，且$a+b=4$，则下列不等式恒成立的是（）。

A.$\frac {1}{ab}\geqslant \frac {1}{4}$
B.$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}\leqslant 1$
C.$\sqrt {ab}\geqslant 2$
D.$\frac {1}{a^{2}+b^{2}}\leqslant \frac {1}{8}$

答案： 解 由$a+b=4$，得$\sqrt {ab}\leqslant \frac {a+b}{2}=\frac {4}{2}=2$，$\therefore ab\leqslant 4$，$\therefore \frac {1}{ab}\geqslant \frac {1}{4}$，故A正确，C错误。$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}=\frac {a+b}{ab}=\frac {4}{ab}\geqslant 1$，故B错误。由$\frac {a^{2}+b^{2}}{2}\geqslant (\frac {a+b}{2})^{2}$得$a^{2}+b^{2}\geqslant 2×(\frac {4}{2})^{2}=8$，$\therefore \frac {1}{a^{2}+b^{2}}\leqslant \frac {1}{8}$，故D正确。
答 AD