《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例2
已知全集$U=\{ x|x 是不大于9 的正整数\}$，A，B都是U的子集，$(\complement_U A)\cap B=\{ 1,3\},(\complement_U B)\cap A=\{ 2,4,8\},(\complement_U A)\cap (\complement_U B)=\{ 6,9\}$，求集合A，B。

答案：
答 方法一：$U=\{ x|x 是不大于9 的正整数\} =\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$。
∵$(\complement_U A)\cap B=\{ 1,3\},(\complement_U B)\cap A=\{ 2,4,8\}$，
∴$\{ 1,3\} \subseteq B,\{ 2,4,8\} \subseteq A$。
∵$(\complement_U A)\cap (\complement_U B)=\complement_U(A\cup B)=\{ 6,9\}$，
∴$A\cup B=\{ 1,2,3,4,5,7,8\}$。
若$5\notin A$，则$5\in \complement_U A,5\in B$，此时$(\complement_U A)\cap B=\{ 1,3,5\}$，不合题意，故$5\in A$。同理，$7\in A$，$5\in B,7\in B$。
∴$A=\{ 2,4,5,7,8\},B=\{ 1,3,5,7\}$。
方法二：
∵$U=\{ x|x 是不大于9 的正整数\} =\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$，且$(\complement_U A)\cap B=\{ 1,3\},(\complement_U B)\cap A=\{ 2,4,8\},(\complement_U A)\cap (\complement_U B)=\complement_U(A\cup B)=\{ 6,9\}$，
∴Venn图如图1-3-14所示。
由图可知$A=\{ 2,4,5,7,8\},B=\{ 1,3,5,7\}$。

例3
已知集合$A=\{ x|1\leqslant x\leqslant 7\},B=\{ x|m-1\leqslant x\leqslant 2m+1\}$。
（1）若$A\cap B=B$，求实数m的取值范围；
（2）若$A\cup B=B$，求实数m的取值范围。

答案： 答 （1）由$A\cap B=B$，可得$B\subseteq A$。
当$B=\varnothing$，即$m-1＞2m+1$时，解得$m＜-2$，满足$B\subseteq A$；
当$B\neq \varnothing$时，若满足$B\subseteq A$，
则$\left\{\begin{array}{l} m-1\leqslant 2m+1,\\ m-1\geqslant 1,\\ 2m+1\leqslant 7,\end{array}\right.$

例4 2024·广东中山纪念中学期中
已知集合$A=\{ x|x＞a^2+1 或x＜a\},B=\{ x|2\leqslant x\leqslant 4\}$，若$A\cap B\neq \varnothing$，求实数a的取值范围。

答案：
答 当$A\cap B=\varnothing$时，集合A，B在数轴上表示如图1-3-15所示。
由图得$\left\{\begin{array}{l} a\leqslant 2,\\ a^2+1\geqslant 4,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a\leqslant 2,\\ a\geqslant \sqrt{3} 或a\leqslant -\sqrt{3} 。\end{array}\right.$
∴$a\leqslant -\sqrt{3} 或\sqrt{3}\leqslant a\leqslant 2$。
∴当$A\cap B=\varnothing$时，实数a的取值范围为$\{ a|a\leqslant -\sqrt{3} 或\sqrt{3}\leqslant a\leqslant 2\}$。
当$A\cap B\neq \varnothing$时，实数a的取值范围是其补集，
∴所求实数a的取值范围为$\{ a|-\sqrt{3}＜a＜\sqrt{3} 或a＞2\}$。