《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1 判断函数$f(x)=\sqrt{x+1}·\sqrt{x-1}$的奇偶性。
错解 因为$f(-x)=\sqrt{(-x)+1}·\sqrt{(-x)-1}=\sqrt{[(-x)+1][(-x)-1]}=\sqrt{x+1}·\sqrt{x-1}=f(x)$，所以$f(x)$是偶函数。
错因分析 忽略“判断定义域是否关于原点对称”这一前提。
正解 由题意，得$\begin{cases} x+1≥0, \\ x-1≥0, \end{cases}$解得$x≥1$，即$f(x)$的定义域为$[1,+∞)$。
因为$f(x)$的定义域不关于原点对称，
所以$f(x)$是非奇非偶函数。
满分策略 判断函数的奇偶性时应先确定定义域，忽略定义域是常见的错误，要引起重视。另外，确定函数的定义域之前不要化简函数式，否则可能会导致定义域发生变化。

答案： 要判断函数$f(x)=\sqrt{x+1}·\sqrt{x-1}$的奇偶性，需先确定其定义域。
由题意，得$\begin{cases} x+1\geq0 \\ x-1\geq0 \end{cases}$，解得$x\geq1$，即函数$f(x)$的定义域为$[1,+\infty)$。
因为函数$f(x)$的定义域$[1,+\infty)$不关于原点对称，所以函数$f(x)$是非奇非偶函数。
综上，函数$f(x)=\sqrt{x+1}·\sqrt{x-1}$是非奇非偶函数。

例2 已知偶函数$f(x)$在$[0,+∞)$上单调递减，$f(2)=0$，若$f(x-1)＞0$，则$x$的取值范围是。
错解 因为$f(x)$在$[0,+∞)$上单调递减，$f(2)=0$，所以$f(x)＞0$的解集为$[0,2)$，若$f(x-1)＞0$，则$0≤x-1＜2$，解得$1≤x＜3$。
错因分析 对偶函数的定义域理解片面。
正解 根据偶函数的性质，易知$f(x)＞0$的解集为$(-2,2)$，
若$f(x-1)＞0$，则$-2＜x-1＜2$，

答案： 解得$-1＜x＜3$。
答 $(-1,3)$
满分策略 偶函数的图像关于$y$轴对称，且在关于原点对称的区间上单调性相反。