《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1-1 (多选)下列说法正确的是()。

A.$-2$是16的4次方根
B.正数的$n$次方根有两个
C.$a$的$n$次方根就是$\sqrt[n]{a}$
D.$\sqrt{(x+y)^{2}}=|x+y|$

答案： 解 根据$n$次方根的定义和性质判断。因为$(-2)^{4}=16$,所以$-2$是16的4次方根,故A正确;正数的奇次方根只有一个,偶次方根才有两个,故B错误;$a$的$n$次方根未必是$\sqrt[n]{a}$,若$n$是偶数,则正数$a$的$n$次方根有两个,即$\pm\sqrt[n]{a}$,故C错误;$\sqrt{(x+y)^{2}}$是非负数,故$\sqrt{(x+y)^{2}}=|x+y|$,故D正确。
答 AD

例1-2 (1)若$\sqrt{x^{2}-2x+1}+\sqrt{y^{2}+6y+9}=0$,求$y^{x}$;
(2)化简$\sqrt[n]{(a-b)^{n}}+\sqrt[n]{(a+b)^{n}}(a\lt b\lt0,n＞1$且$n\in\mathbf{N}^{*})$。

答案： 答
(1)因为$\sqrt{x^{2}-2x+1}+\sqrt{y^{2}+6y+9}=\sqrt{(x-1)^{2}}+\sqrt{(y+3)^{2}}=|x-1|+|y+3|=0$,所以$x=1,y=-3$,所以$y^{x}=(-3)^{1}=-3$。
(2)当$n$为奇数时,原式$=(a-b)+(a+b)=2a$;
当$n$为偶数时,因为$a\lt b\lt0$,所以$a-b\lt0,a+b\lt0$,所以原式$=-(a-b)-(a+b)=-2a$。
所以$\sqrt[n]{(a-b)^{n}}+\sqrt[n]{(a+b)^{n}}=\begin{cases}2a(n为奇数),\\-2a(n为偶数)。\end{cases}$