《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1
写出下列命题的否定:
(1)可以被5整除的数,末位是0;
(2)能被3整除的数,也能被4整除。
错解(1)可以被5整除的数,末位不是0;
(2)能被3整除的数,不能被4整除。
错因分析，对于(1),原命题为假命题,错解中命题的否定也是假命题，故此命题的否定不正确，
(2)的错误与(1)相仿。实际上,(1)(2)均为省略了全称量词的全称量词命题,因此写其否定时，要补全量词，不能只否定结论，不改变量词。
正解(1)省略了全称量词“任何一个”,命题的否定为:有些可以被5整除的数,末位不是0。
(2)省略了全称量词“所有”,命题的否定为:存在一个能被3整除的数,不能被4整除。
满分策略，由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时,必须找出其中省略的全称量词,写成“Vx∈M,p(x)”的形式,再把它的否定写成“3x∈M,乛p(x)”的形式。要学会挖
掘命题中隐含的量词,注意把握每一个命题的
实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假
性(一真一假)进行验证。

答案： 答题卡作答：
(1) 原命题省略全称量词“任何一个”，其否定为：存在某些可以被5整除的数，其末位不是0。
(2) 原命题省略全称量词“所有”，其否定为：存在一个能被3整除的数，它不能被4整除。

例2
已知命题p:存在一个实数x0,使得x²−x。−2＜
0,写出」p。
错解错解一:p:存在一个实数x0,使得x²−
x0−2≥0。
错解二:p:对任意的实数x,都有x²−x−
2＜0。
错因分析，该命题是存在量词命题，其否定应是
全称量词命题,但错解一得到的一P仍是存在
量词命题，显然只对结论进行了否定,而没有对
存在量词进行否定。错解二只对存在量词进行
了否定，而没有对结论进行否定。
正解p:对任意的实数x,都有x²−x−2≥0。
满分策略，全称(存在)量词命题的否定主要有
两个方面:(1)量词的否定;(2)结论的否定。
不能只否定一个，也不能再对命题中其他内容
进行否定。

答案： 命题$p$：存在一个实数$x_0$，使得$x_0^2 - x_0 - 2 ＜ 0$。
根据存在量词命题的否定规则，否定后的命题$\lnot p$应为全称量词命题，并且结论部分也要取反。
因此，否定后的命题$\lnot p$为：对任意的实数$x$，都有$x^2 - x - 2 \geq 0$。