《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例2
已知$A=\{ -3,a^2,a+1\},B=\{ a-3,2a-1,a^2+1\}$，若$A\cap B=\{ -3\}$，求a的值。
错解 由$A\cap B=\{ -3\}$知$a-3=-3$或$2a-1=-3$，∴$a=0$或$a=-1$。
错因分析 没有把求得的a值代入原集合检验是否满足条件，实际上针对此类问题，求出参数a的值后一定要代入原集合进行检验，看是否符合已知条件。这里的已知条件包括不仅要满足集合本身的互异性，还要满足题干中的其他条件，把不符合题意的值舍去。
正解 ∵$A\cap B=\{ -3\}$，∴$-3\in B$，
易知$a^2+1\neq -3$。因此
①若$a-3=-3$，则$a=0$，
此时$A=\{ -3,0,1\},B=\{ -3,-1,1\}$，
则$A\cap B=\{ 1,-3\}$，这与已知矛盾。
②若$2a-1=-3$，则$a=-1$，
此时$A=\{ -3,1,0\},B=\{ -4,-3,2\}$，
则$A\cap B=\{ -3\}$，符合题意。
综上，可知$a=-1$。

答案：
∵$A\cap B=\{ -3\}$，
∴$-3\in B$。
集合$B$中$a^2+1\geq1\neq -3$，故分两种情况讨论：
①若$a-3=-3$，则$a=0$。
此时$A=\{ -3,0,1\}$，$B=\{ -3,-1,1\}$，
$A\cap B=\{ -3,1\}$，与$A\cap B=\{ -3\}$矛盾，舍去。
②若$2a-1=-3$，则$a=-1$。
此时$A=\{ -3,1,0\}$，$B=\{ -4,-3,2\}$，
$A\cap B=\{ -3\}$，符合题意。
综上，$a=-1$。

例1
(1)(2023·新课标Ⅰ)已知集合$M=\{ -2,-1,0,1,2\},N=\{ x|x^2-x-6\geqslant 0\}$，则$M\cap N=$()。
A. $\{ -2,-1,0,1\}$
B. $\{ 0,1,2\}$
C. $\{ -2\}$
D. $\{ 2\}$
(2)(2024·北京高考)已知集合$M=\{ x|-3＜x＜1\},N=\{ x|-1\leqslant x＜4\}$，则$M\cup N=$()。
A. $\{ x|-1\leqslant x＜1\}$
B. $\{ x|x＞-3\}$
C. $\{ x|-3＜x＜4\}$
D. $\{ x|x＜4\}$
(3)(2024·天津高考)集合$A=\{ 1,2,3,4\},B=\{ 2,3,4,5\}$，则$A\cap B=$()。
A. $\{ 1,2,3,4\}$
B. $\{ 2,3,4\}$
C. $\{ 2,4\}$
D. $\{ 1\}$

答案： 解
(1)因为$M=\{ -2,-1,0,1,2\},N=\{ x|x^2-x-6\geqslant 0\} =\{ x|x\leqslant -2 或x\geqslant 3\}$，所以$M\cap N=\{ -2\}$。故选C。
(2)由题意得$M\cup N=\{ x|-3＜x＜4\}$。故选C。
(3)因为集合$A=\{ 1,2,3,4\},B=\{ 2,3,4,5\}$，所以$A\cap B=\{ 2,3,4\}$。故选B。
答
(1)C
(2)C
(3)B