《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1
将命题“已知$a,b$为正数,当$a＞b$时,有$\sqrt{a^{2}}＞\sqrt{b^{2}}$”写成“若$p$,则$q$”的形式,并指出条件和结论。
错解 “若$p$,则$q$”的形式为:若已知$a,b$为正数,$a＞b$,则$\sqrt{a^{2}}＞\sqrt{b^{2}}$。其中条件$p:a,b$为正数,$a＞b$,结论$q:\sqrt{a^{2}}＞\sqrt{b^{2}}$。
错因分析 把大前提“已知$a,b$为正数”当作条件,实际上若一个命题有大前提,则应把它写在“若$p$,则$q$”之前,不能写在条件中。
正解 根据题意,“若$p$,则$q$”的形式为:
已知$a,b$为正数,若$a＞b$,则$\sqrt{a^{2}}＞\sqrt{b^{2}}$。
其中条件$p:a＞b$,结论$q:\sqrt{a^{2}}＞\sqrt{b^{2}}$。
满分策略 解决此类问题,首先要分清命题的条件和结论,尤其不能把大前提作为条件来处理。

答案： 已知$a,b$为正数，若$a＞b$，则$\sqrt{a^{2}}＞\sqrt{b^{2}}$。
条件$p$：$a＞b$；
结论$q$：$\sqrt{a^{2}}＞\sqrt{b^{2}}$。

例2
判断下列命题的真假。
(1)若$a＞b$,则$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$;
(2)形如$a+\sqrt{2}b$的数是无理数;
(3)$x=1$是方程$(x-1)(x-2)=0$的根;
(4)已知$x,y$均为正整数,当$y=x+1$时,$y=3,x=2$。
错解 (1)(3)(4)是真命题,(2)是假命题。
错因分析 考虑问题不够全面。
正解 (1)为假命题,如$3＞-2$,但$\frac{1}{3}＞\frac{1}{-2}$;
(2)为假命题,如当$a=1,b=\sqrt{2}$时,$a+\sqrt{2}b=3$是有理数;
(3)为真命题,由方程的根的定义,将$x=1$代入方程$(x-1)(x-2)=0$,即可作出判断;
(4)为假命题,如$x=1,y=2$等。
满分策略 判断命题的真假,一定要全面分析命题中的相关条件与结构,做到心中有数,切忌主观臆断,丢三落四。

答案：
(1)假命题，例如$3 ＞ -2$，但$\frac{1}{3} ＞ -\frac{1}{2}$。
(2)假命题，例如当$a=1$，$b=0$时，$a+\sqrt{2}b=1$是有理数。
(3)真命题，将$x=1$代入方程左边得$(1-1)(1-2)=0$，右边为$0$，等式成立。
(4)假命题，例如$x=1$，$y=2$满足$y=x+1$。

例 北京高考
能够说明“设$a,b,c$是任意实数。若$a＞b＞c$,
则$a+b＞c$”是假命题的一组整数$a,b,c$的值依次为。

答案： 解 因为“设$a,b,c$是任意实数。若$a＞b＞c$,则$a+b＞c$”是假命题,所以“设$a,b,c$是任意实数。若$a＞b＞c$,则$a+b\leqslant c$”是真命题。因为$a＞b＞c$,所以$a+b＞2c$。又$a+b\leqslant c$,所以$c＜0$。因此$a,b,c$的值依次可取$-1,-2,-3$(答案不唯一)。
答 $-1,-2,-3$(答案不唯一)
解题通法
判断命题真假的方法
(1)对于一般的命题,可根据我们已学过的定义、定理、公理等判断其真假。
(2)将一个命题改写成“若$p$,则$q$”的形式后,判断此命题真假的一般方法如下:
①若通过逻辑推理可以由$p$得到$q$,则可确定命题“若$p$,则$q$”为真;而要确定命题“若
$p$,则$q$”为假,则只需举出一个反例。
②从集合的观点,我们建立集合$A,B$与$p,q$之间的一种特殊联系。设集合$A=\{x\mid p(x)\},B=\{x\mid q(x)\}$,就是说,$A$是能使$p$成立的对象$x$所构成的集合,$B$是能使$q$成立的对象$x$所构成的集合,此时,命题“若$p$,则$q$”为真(意思就是“使$p$成立的对象也能使$q$成立”),即$A\subseteq B$。