《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1−1L|
已知sinα=3cosα,求下列各式的值。
(1)$\frac{4sinα−cosα}{3sinα+5cosα}$;
(2)$\frac{sinα−2sinα.cosα−cosα}{4cos²α−3sin²α}$;
(3)$\frac{3}{4}$sin²2α+$\frac{1}{2}$cOs2α。

答案： 答
∵sinα=3cosα,
∴tanα=3。
情况讨论开方结果的正负。应用正切公式时，要看tanα是否有意义,还要看角的范围是否给出,否则求出的角α可能不唯一。
(3)已知tanα,求关于sinα和cosα齐次式值的基本方法:
已知角α的正切值,求由sinα和cosα构成的齐次式(次数相同)的值。
①形如$\frac{asinα+bcosa}{csinα+dcosa}$的分式，可将分子、分母同时除以cosα;形如$\frac{asinα+bsinacosα+ccos²α}{dsin²α+esinαcosα+fcos²}$2 的分式,可将分子、分母同时除以cos2α,将正、余弦转化为正切,从而求值。
②形如asin²α+bsinαcosα+ccos2α的式子,可将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin²α + cos2α, 转 化 为 形 如$\frac{asin²α+bsinαcosα+ccos²α}{sin²α+cos²α}$的分式求解。
(4)利用sinα±cosα与sinαxcosα之间的关系求值:
由(sinα+cosα)²=1+2sinαcosα,(sinα−cosα)²=1−2sinαcosα,可知:如果已知sinα+
cosα,sinα−cosα,sinαcosα三个式子中任何一个的值,那么均可以求出另外两个式子的值。因此,我们称sinQ+cosα,sinαcosα,sinα−
cosα为三角“三剑客”,就像武侠小说里的三剑客,出现了一个,其他的两个就在附近。

7解题通法
sinθ±cosθ的符号的判定方法
(1)sinθ−cosθ的符号的判定方法:由三角函
数的定义知,当θ的终边落在直线y=x上时，
sinθ=cosθ,即sinθ−cosθ=0;当θ的终边落
在直线y=x的上半平面区域内时,sinθ＞cosθ,
即sinθ−cosθ＞0;当θ的终边落在直线y=x
的下半平面区域内时,sinθ＜cosθ,即sinθ−
cosθ＜0。如图7−2−2−2①所示。
(1)$\frac{4sinα−cosα}{3sinα+5cos}$=$\frac{4tanα−1}{3tanα+5}$=$\frac{4×3−1}{3×3+5}$=
-1141°
(2) $\frac{sin²α−2sinα.cosα−cosα}{4cos²α−3sin²α}$ =
2
$\frac{tan²α−2tanα−1}{4−3tan²α}$=$\frac{9−2×3−1}{4−3×3²}$=−$\frac{2}{23}$。
(3)$\frac{3}{4}$sin2α+$\frac{1}{2}$cos2α=$\frac{3}{4}$ssiinn²²αα++$\frac{1}{2}$cocs²oαs2α=
3tan2a+$\frac{1}{2}$$\frac{3}{4}$×9+$\frac{1}{2}$
$\frac{4aa2}{tan²α+1}$=$\frac{42}{9+1}$=$\frac{29}{40}$。