《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例2-2
若关于$x$的不等式$ax^{2} - 2x + 2 ＞ 0$对于满足$1 ＜$
$x ＜ 4$的一切实数$x$恒成立，求实数$a$的取值
范围。

答案： 答 $\because 1 ＜ x ＜ 4,\therefore$不等式$ax^{2} - 2x + 2 ＞ 0$可转
化为$a ＞ \frac{2x - 2}{x^{2}}$。
令$y = \frac{2x - 2}{x^{2}} = - 2(\frac{1}{x} - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2}\leq\frac{1}{2}$。
$\therefore\frac{1}{4} ＜ \frac{1}{x} ＜ 1$，
$\therefore$当$\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$，即$x = 2$时，函数取得最大值$\frac{1}{2}$，
$\therefore a ＞ \frac{1}{2}$，即实数$a$的取值范围为$(\frac{1}{2}, + \infty)$。

例2-3
对于满足$0\leq p\leq4$的一切实数，不等式$x^{2} + px ＞$
$4x + p - 3$恒成立,试求$x$的取值范围。

答案： 答 不等式$x^{2} + px ＞ 4x + p - 3$恒成立，即$(x -$
$1)p + (x^{2} - 4x + 3) ＞ 0$，设$y = (x - 1)p + (x^{2} -$
$4x + 3)$是以$p$为自变量的函数，则当$0\leq p\leq4$时，
$y ＞ 0$恒成立，即$\begin{cases}(x - 1) · 0 + x^{2} - 4x + 3 ＞ 0,\\4(x - 1) + x^{2} - 4x + 3 ＞ 0,\end{cases}$

例3

答案： 解关于$x$的不等式$ax^{2} - (a + 1)x + 1 ＜ 0$。
解 求解二次项系数含参数的不等式要分类讨论，以二次项系数是否为$0$确定分类标准。
答 二次项系数含参数分以下情况讨论：
(1)当$a = 0$时，原不等式化为$- x + 1 ＜ 0$，
$\therefore x ＞ 1$。
(2)当$a \neq 0$时，原不等式化为$(ax - 1)(x - 1) ＜ 0$ ①。
当$a ＜ 0$时，①式化为$(x - \frac{1}{a})(x - 1) ＞ 0$，又此
时$\frac{1}{a} ＜ 1$，故解得$x ＞ 1$或$x ＜ \frac{1}{a}$。
当$a ＞ 0$时，①式变为$(x - \frac{1}{a})(x - 1) ＜ 0$ ②。
$\because \frac{1}{a} - 1 = \frac{1 - a}{a},\therefore$当$0 ＜ a ＜ 1$时，$\frac{1}{a} ＞ 1$，此时
②式的解集为$\{x|1 ＜ x ＜ \frac{1}{a}\}$；
当$a = 1$时，$\frac{1}{a} = 1$，此时②式的解集为$\varnothing$；
当$a ＞ 1$时，$\frac{1}{a} ＜ 1$，此时②式的解集为
$\{x|\frac{1}{a} ＜ x ＜ 1\}$。
综上，当$a ＜ 0$时，不等式的解集为
$\{x|x ＞ 1$或$x ＜ \frac{1}{a}\}$；
当$a = 0$时，不等式的解集为$\{x|x ＞ 1\}$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，不等式的解集为$\{x|1 ＜ x ＜ \frac{1}{a}\}$；
当$a = 1$时，不等式的解集为$\varnothing$；
当$a ＞ 1$时，不等式的解集为$\{x|\frac{1}{a} ＜ x ＜ 1\}$。