《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

【例】填空：
(1) $36^{\circ} = $$ rad$；(2) $27^{\circ}24' = $$ rad$；(3) $-\frac{9}{4}\pi = $$^{\circ}$；(4) $5\ rad \approx $$^{\circ}$。
【解】本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与弧度的换算公式即可。
(1) $36^{\circ} = \frac{\pi}{180}\ rad × 36 = \frac{\pi}{5}\ rad$。
(2) $27^{\circ}24' = 27.4^{\circ} = \frac{\pi}{180}\ rad × 27.4 = \frac{137\pi}{900}\ rad$。
(3) $-\frac{9}{4}\pi = -(\frac{9}{4} × 180^{\circ}) = -405^{\circ}$。
(4) $5\ rad = 5 × \frac{180^{\circ}}{\pi} \approx 286.48^{\circ}$。
【答】(1) $\frac{\pi}{5}$ (2) $\frac{137\pi}{900}$ (3) $-405$ (4) $286.48$

答案：
(1) $\frac{\pi}{5}$
(2) $\frac{137\pi}{900}$
(3) $-405$
(4) $286.48$

例1 - 1
将下列角度与弧度进行互化。
(1) $20^{\circ}$；(2) $-15^{\circ}$；(3) $\frac{7\pi}{12}$；(4) $-\frac{11\pi}{5}$。
答 (1) $20^{\circ} = 20 × \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{9}$。
(2) $-15^{\circ} = -15 × \frac{\pi}{180} = -\frac{\pi}{12}$。
(3) $\frac{7\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} × \frac{180^{\circ}}{\pi} = 105^{\circ}$。
(4) $-\frac{11\pi}{5} = -\frac{11\pi}{5} × \frac{180^{\circ}}{\pi} = -396^{\circ}$。

答案：
(1) $20^{\circ} = 20 × \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{9}$。
(2) $-15^{\circ} = -15 × \frac{\pi}{180} = -\frac{\pi}{12}$。
(3) $\frac{7\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} × \frac{180^{\circ}}{\pi} = 105^{\circ}$。
(4) $-\frac{11\pi}{5} = -\frac{11\pi}{5} × \frac{180^{\circ}}{\pi} = -396^{\circ}$。

例1 - 2
将 $2100^{\circ}$ 表示为 $\alpha + 2k\pi(0 ＜ \alpha ＜ 2\pi, k \in \mathbf{Z})$ 的形式为，与 $2100^{\circ}$ 终边相同的角可以表示为 $\beta + 2k\pi(-\frac{\pi}{2} ＜ \beta ＜ \frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z})$，则 $\beta =$。
解 $2100^{\circ} = 2100 × \frac{\pi}{180} = \frac{35\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 10\pi = -\frac{\pi}{3} + 12\pi$，进而可知与 $2100^{\circ}$ 终边相同的角可以表示为 $-\frac{\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbf{Z}$。
答 $\frac{5\pi}{3} + 10\pi$ $-\frac{\pi}{3}$

答案： $\frac{5\pi}{3}+10\pi$；$-\frac{\pi}{3}$