《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4-2
已知方程 $8x^2 - (m - 1)x + m - 7 = 0$ 有两实根。
(1) 如果两实根都大于 $1$, 求实数 $m$ 的取值范围;
(2) 如果两实根都在区间 $(1, 3)$ 内, 求实数 $m$ 的取值范围。

答案： 答
(1) 方法一: 设函数 $f(x) = 8x^2 - (m - 1)x + m - 7$, 若两实根均大于 $1$, 则 $\begin{cases} \Delta = (m - 1)^2 - 32(m - 7) \geqslant 0, \\ f(1) ＞ 0, \\ \frac{m - 1}{16} ＞ 1, \end{cases}$ 即 $\begin{cases} m \geqslant 25 或 m \leqslant 9, \\ m \in \mathbf{R}, \\ m ＞ 17, \end{cases}$ 所以 $m \geqslant 25$。
方法二: 设方程两根分别为 $x_1, x_2$, 则 $x_1 + x_2 = \frac{m - 1}{8}, x_1x_2 = \frac{m - 7}{8}$, 因为两根均大于 $1$, 所以 $x_1 - 1 ＞ 0, x_2 - 1 ＞ 0$, 故有 $\begin{cases} \Delta = (m - 1)^2 - 32(m - 7) \geqslant 0, \\ (x_1 - 1) + (x_2 - 1) ＞ 0, \\ (x_1 - 1)(x_2 - 1) ＞ 0, \end{cases}$ 即 $\begin{cases} m \geqslant 25 或 m \leqslant 9, \\ m ＞ 17, \\ m \in \mathbf{R}, \end{cases}$ 所以 $m \geqslant 25$。
(2) 若两根 $x_1, x_2 \in (1, 3)$, 则 $\begin{cases} \Delta \geqslant 0, \\ f(1) ＞ 0, \\ f(3) ＞ 0, \\ 1 ＜ \frac{m - 1}{16} ＜ 3, \end{cases}$ 即 $\begin{cases} m \geqslant 25 或 m \leqslant 9, \\ m \in \mathbf{R}, \\ m ＜ 34, \\ 17 ＜ m ＜ 49, \end{cases}$ 所以 $25 \leqslant m ＜ 34$。

例5
若不等式 $ax^2 + bx + c ＞ 0$ 的解集为 $\{x | -3 ＜ x ＜ 4\}$, 则不等式 $bx^2 + 2ax - c - 3b ＜ 0$ 的解集为。
条件下相互转化。
若已知一元二次方程的根, 可以写出相应不等式的解集, 反之, 已知不等式的解集也可以写出相应二次方程的根 (若一元二次不等式的解集为区间的形式, 则区间的端点值恰是相应一元二次方程的根), 进一步可求得方程中的系数或得到系数之间的关系。如已知不等式 $ax^2 + bx + c ＞ 0$ 的解集为 $\{x | 2 ＜ x ＜ 3\}$, 则 $2$ 与 $3$ 是方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两根, 且 $a ＜ 0$, 这些知识都为我们研究一些含参数的不等式的解集提供了依据。

答案： 答题模板
已知不等式的解集求参数的解题步骤
(1) 根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号;
(2) 由根与系数的关系, 将根直接代入方程, 求出参数的值或参数之间的关系, 进而求解。