《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3
已知$a＞0,b＞0$，且$\frac {1}{a}+\frac {16}{b}=1$，求$a+b$的最小值。
错解 $\because a＞0,b＞0$，$\therefore \frac {1}{a}+\frac {16}{b}\geqslant 2\sqrt {\frac {16}{ab}}=8\sqrt {\frac {1}{ab}}$，$\therefore 8\sqrt {\frac {1}{ab}}\leqslant 1$，$\therefore \frac {1}{ab}\leqslant \frac {1}{64}$，$\therefore ab\geqslant 64$，$\therefore a+b\geqslant 2\sqrt {ab}\geqslant 16$，$\therefore a+b$的最小值为16。
错因分析 上述解法错误的原因是两次使用基本不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为$\frac {1}{a}=\frac {16}{b}$，即$b=16a$，第二次等号成立的条件为$a=b$，故$a+b$取不到最小值16。
正解 $\because a＞0,b＞0$，$\frac {1}{a}+\frac {16}{b}=1$，$\therefore a+b=(\frac {1}{a}+\frac {16}{b})(a+b)=1+16+\frac {b}{a}+\frac {16a}{b}\geqslant 17+2\sqrt {\frac {b}{a}· \frac {16a}{b}}=17+2×4=25$，当且仅当$\frac {b}{a}=\frac {16a}{b}$，即$b^{2}=16a^{2}$时等号成立。由$\left\{\begin{array}{l} b^{2}=16a^{2},\\ \frac {1}{a}+\frac {16}{b}=1,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a=5,\\ b=20。\end{array}\right.$故当$a=5,b=20$时，$a+b$取得最小值25。
满分策略 “三相等”是指满足等号成立的条件。注意连续使用基本不等式取等号时，要同时满足：任何一次的等号成立时字母取值存在且一致。

答案： $\because a ＞ 0,b ＞ 0$，且$\frac{1}{a} + \frac{16}{b} = 1$，
$\therefore a + b = (\frac{1}{a} + \frac{16}{b})(a + b)$
$= 1× a + 1× b + \frac{16a}{b} + \frac{b}{a}$
$= 1 + 16 + \frac{16a}{b} + \frac{b}{a}$
$\geqslant 17 + 2\sqrt{\frac{16a}{b} · \frac{b}{a}}$
$= 17 + 2×4$
$= 25$
当且仅当$\frac{16a}{b} = \frac{b}{a}$且$\frac{1}{a} + \frac{16}{b} = 1$时等号成立，
由$\frac{16a}{b} = \frac{b}{a}$可得$b^{2} = 16a^{2}$，即$b = 4a$（$a＞0,b＞0$），
将$b = 4a$代入$\frac{1}{a} + \frac{16}{b} = 1$可得：
$\frac{1}{a} + \frac{16}{4a} = 1$
$\frac{1}{a} + \frac{4}{a} = 1$
$\frac{5}{a} = 1$
解得$a = 5$，
则$b = 4×5 = 20$。
故当$a = 5$，$b = 20$时，$a + b$取得最小值$25$。
因此，$a+b$最小值为$25$。

例1
(1)(天津高考)已知$a＞0,b＞0$，且$ab=1$，则$\frac {1}{2a}+\frac {1}{2b}+\frac {8}{a+b}$的最小值为。
(2)(2021·天津高考)若$a＞0,b＞0$，则$\frac {1}{a}+\frac {a}{b^{2}}+b$的最小值为。
(3)(江苏高考)已知$5x^{2}y^{2}+y^{4}=1(x,y\in \mathbf{R})$，则$x^{2}+y^{2}$的最小值是。

答案： 解
(1)因为$\frac {1}{2a}+\frac {1}{2b}=\frac {a+b}{2ab}=\frac {a+b}{2}$，而$\frac {a+b}{2}+\frac {8}{a+b}\geqslant 2\sqrt {\frac {a+b}{2}· \frac {8}{a+b}}=4$，当且仅当$\frac {a+b}{2}=\frac {8}{a+b}$时取等号，此时有$a+b=4$且$ab=1$，即$\left\{\begin{array}{l} a=2-\sqrt {3},\\ b=2+\sqrt {3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} a=2+\sqrt {3},\\ b=2-\sqrt {3}。\end{array}\right.$故所求最小值为4。
(2)因为$a＞0,b＞0$，所以$\frac {1}{a}+\frac {a}{b^{2}}+b\geqslant 2\sqrt {\frac {1}{a}· \frac {a}{b^{2}}}+b=\frac {2}{b}+b\geqslant 2\sqrt {\frac {2}{b}· b}=2\sqrt {2}$，当且仅当$\frac {1}{a}=\frac {a}{b^{2}}$且$\frac {2}{b}=b$，即$a=b=\sqrt {2}$时取等号。故$\frac {1}{a}+\frac {a}{b^{2}}+b$的最小值为$2\sqrt {2}$。
(3)方法一：由$5x^{2}y^{2}+y^{4}=1$得$x^{2}=\frac {1-y^{4}}{5y^{2}}=\frac {1}{5y^{2}}-\frac {y^{2}}{5}$，则$x^{2}+y^{2}=\frac {1}{5y^{2}}+\frac {4y^{2}}{5}\geqslant 2\sqrt {\frac {1}{5y^{2}}· \frac {4y^{2}}{5}}=\frac {4}{5}$，当且仅当$\frac {1}{5y^{2}}=\frac {4y^{2}}{5}$，即$y^{2}=\frac {1}{2}$时取等号，故$x^{2}+y^{2}$的最小值是$\frac {4}{5}$。
方法二：$4=(5x^{2}+y^{2})· 4y^{2}\leqslant [\frac {(5x^{2}+y^{2})+4y^{2}}{2}]^{2}=\frac {25(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}$，则$x^{2}+y^{2}\geqslant \frac {4}{5}$，当且仅当$5x^{2}+y^{2}=4y^{2}=2$，即$x^{2}=\frac {3}{10}$，$y^{2}=\frac {1}{2}$时取等号，故$x^{2}+y^{2}$的最小值是$\frac {4}{5}$。
答
(1)4
(2)$2\sqrt {2}$
(3)$\frac {4}{5}$