《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1-3 2024·湖南名校联考联合体高一联考
已知$x+y=1,x＞0,y＞0$，则$\frac {1}{4x}+\frac {4x}{2x+y}+\frac {1}{4}$的最小值为()。

A.$\frac {3}{2}$
B.$\frac {7}{4}$
C.$\sqrt {2}$
D.2

答案： 解 $\frac {1}{4x}+\frac {4x}{2x+y}+\frac {1}{4}=\frac {1+x}{4x}+\frac {4x}{2x+y}=\frac {x+y+x}{4x}+\frac {4x}{2x+y}=\frac {2x+y}{4x}+\frac {4x}{2x+y}\geqslant 2\sqrt {\frac {2x+y}{4x}· \frac {4x}{2x+y}}=2$，当且仅当$\frac {2x+y}{4x}=\frac {4x}{2x+y}$，即$x=\frac {1}{3},y=\frac {2}{3}$时，等号成立。
答 D

例2 2024·天津南开中学月考
已知$x＞0,y＞0,z＞0$，求证：$(\frac {y}{x}+\frac {z}{x})(\frac {x}{y}+\frac {z}{y})(\frac {x}{z}+\frac {y}{z})\geqslant 8$。

答案：
答 $\because x＞0,y＞0,z＞0$，$\therefore \frac {y}{x}+\frac {z}{x}\geqslant \frac {2\sqrt {yz}}{x}＞0$，$\frac {x}{y}+\frac {z}{y}\geqslant \frac {2\sqrt {xz}}{y}＞0$，$\frac {x}{z}+\frac {y}{z}\geqslant \frac {2\sqrt {xy}}{z}＞0$，当且仅当$x=y=z$时，以上三式等号同时成立。$\therefore (\frac {y}{x}+\frac {z}{x})(\frac {x}{y}+\frac {z}{y})(\frac {x}{z}+\frac {y}{z})\geqslant \frac {8\sqrt {yz}· \sqrt {xz}· \sqrt {xy}}{xyz}=8$。当且仅当$x=y=z$时等号成立。
▶解题通法
利用基本不等式证明不等式的策略
从已证不等式与问题的已知条件出发，借助不等式的性质与有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求的问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。