《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4-1
设$X$是直角坐标平面上的任意点集，定义$X^{*} =\{(1 - y,x - 1)\mid(x,y)\in X\}$，若$X^{*} = X$，则称点集$X$“关于运算$*$对称”.
给定点集$A = \{(x,y)\mid x^{2} + y^{2} = 1\}$，$B = \{(x,y)\mid y = x - 1\}$，$C = \{(x,y)\mid\mid x - 1\mid + \mid y\mid = 1\}$。
其中“关于运算$*$对称”的点集个数为()。

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 解 设$1 - y = x'$，$x - 1 = y'$，解出$x,y$ $\rightarrow$ 代入集合$A,B,C$ $\rightarrow$ 判断$A^{*} = A$，$B^{*} = B$，$C^{*} = C$是否成立 $\rightarrow$ 结论
设$\begin{cases}1 - y = x'\\x - 1 = y'\end{cases}$，则$\begin{cases}y = 1 - x'\\x = 1 + y'\end{cases}$，$(1 + y',1 - x')\in X$，由题意，得
$A^{*} = \{(x',y')\mid(1 + y')^{2} + (1 - x')^{2} = 1\} = \{(x',y')\mid(x' - 1)^{2} + (y' + 1)^{2} = 1\}$，
$B^{*} = \{(x',y')\mid1 - x' = (1 + y') - 1\} = \{(x',y')\mid y' = - x' + 1\}$，
$C^{*} = \{(x',y')\mid\mid(1 + y') - 1\mid + \mid1 - x'\mid = 1\} = \{(x',y')\mid\mid y'\mid + \mid1 - x'\mid = 1\}$，
所以$A^{*}\neq A$，$B^{*}\neq B$，$C^{*} = C$。
答 B

例4-2 2024·湖北华师一附中月考
(多选)对于集合$M$，$N$，我们把属于集合$M$但不属于集合$N$的元素组成的集合叫作集合$M$与$N$的“差集”，记作$M - N$，即$M - N = \{x\mid x\in M$，且$x\notin N\}$；把集合$M$与$N$中所有不属于$M\cap N$的元素组成的集合叫作集合$M$与$N$的“对称差集”，记作$M\Delta N$，即$M\Delta N = \{x\mid x\in (M\cup N)$，且$x\notin (M\cap N)\}$。下列选项正确的有()。

A.若$M - N = M$，则$M\cap N = \varnothing$
B.若$M - N = \varnothing$，则$M = N$
C.$M\Delta N = (M\cup N) - (M\cap N)$
D.$M\Delta N = (M - N)\cup (N - M)$

答案： 解 若$M - N = M$，则$M\cap N = \varnothing$，故A正确。当$M - N = \varnothing$时，$M\subseteq N$，故B错误。$M\Delta N = \{x\mid x\in (M\cup N)$，且$x\notin (M\cap N)\} = (M\cup N) - (M\cap N)$，故C正确。$M\Delta N$和$(M - N)\cup (N - M)$均表示如图1-1所示的阴影部分，故D正确。故选ACD。
答 ACD