《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

(1)若函数∮(x)(x∈R)满足∮(a+x)=∮(b+x)
(a≠b),则函数f(x)是周期函数,且lb−al为它的一个周期。
(2)若函数∮(x)(x∈R)满足f(a+x)=−f(b+x)(a≠b),则函数f(x)是周期函数,且2lb−al 为它的一个周期。
(3)若函数f(x)(x∈R)满足f(a+x)f(x)=
±1,则函数∮(x)是周期函数,且2lal为它的一个周期。
(4)若函数∮(x)(x∈R)的图像有两条对称轴x=
α,x=b(a≠b),则函数∮(x)是周期函数,且2lb−al为它的一个周期。
(5)若函数f(x)(x∈R)的图像存在对称中心
A(a,0),B(b,0)(a≠b),则函数f(x)为周期函数,且2la−bl为它的一个周期。
(2)y=3cos2x+$\frac{H}{6}$),x∈R;
(3)y=1sin(πx+3)1,x∈R;
(4)y=cosnx(n∈Z,n≠0),x∈R。
答(1)∵y=sinx的周期是2π,
y=2sin($\frac{x}{2}$+$\frac{T}{5}$)的周期T=2=4π。
2
(2)∵y=cosx的周期是2π,
∴y=3cos{2x+$\frac{H}{6}$)的周期T=$\frac{2π}{2}$=TT。
(3)∵y=lsinxl的周期为π,
∴y=Isin(πx+3)1的周期T=$\frac{H}{H}$=1。
(4)当n是偶数时,只有lcosxl的值重复出
现,y=cos"x的函数值才会重复出现,此时
其周期与y=lcosxl的周期相等,为π;
当n是奇数时，只要cosx的值重复出现，
y=cos"x的函数值就会重复出现,此时其周
期与y=cosx的周期相等,为2π。

答案：
(2)
$T = \frac{2\pi}{2}=\pi$。
(3)
令$u=\pi x + 3$，$y = |\sin u|$，$y = |\sin u|$的周期$T_0=\pi$，对于$u=\pi x + 3$，由$T_0=\pi$可得$\pi(x + T)+3-(\pi x + 3)=n\pi$（$n\in Z$），即$\pi T=n\pi$，取$n = 1$，得$T = 1$。
(4)
当$n$是偶数时，设$n = 2k(k\in Z,k\neq0)$，$y=\cos^{2k}x=( \cos^{2}x)^{k}=\left(\frac{1 + \cos2x}{2}\right)^{k}$，其周期$T=\pi$；
当$n$是奇数时，设$n = 2k + 1(k\in Z)$，$y=\cos^{2k + 1}x=\cos^{2k}x·\cos x=(1-\sin^{2}x)^{k}·\cos x$，其周期$T = 2\pi$。

例2|
(1)若函数f(x)的图像关于直线x=a与
x=b(b＞a)对称,则f(x)是否为周期函数？
若为周期函数，求出它的一个周期;若不是
周期函数，说明理由;
(2)若函数f(x)对于任意实数x都有∮(x)=
f(x−a)+∮(x+a)(常数a为正整数),则
f(x)是否为周期函数？若为周期函数,求出
它的一个周期;若不是周期函数，说明理由。

答案： 答
(1)
∵y=∮(x)的图像关于直线x=a对称，
∴对任意实数x都有∮(x+a)=f(a−x)
恒成立,即A(x)=∮(2a−x)。
同理有f(x+b)=∮(b−x),即A(x)=∮(2b−
x)。
∴f[x+2(b−a)]=f[2b−(2a−x)]=
f(2a−x)=A(x)。
(6)若函数f(x)(x∈R)的图像存在对称轴l:x=
a,对称中心B(b,0)(a≠b),则∮(x)为周期函数,且4la−bl为它的一个周期。
[例]已知K(x+2)=−)$\frac{1}{(x)}$,求证;f(x)是周期函数,并求出它的一个周期。
[答]
∵f(x+2)=−1$\frac{1}{(x)}$,
∴f(x+4)=
−1$\frac{1}{(x+2)}$=− 1 =f(x),
∴f(x)是周期函−1$\frac{1}{(x)}$
数，它的一个周期为4。