《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

6.(2024.海南中学期末.能力点1)已知
cos($\frac{A}{6}$−θ{=$\frac{√3}{3}$,则sin($\frac{H}{3}$+θ)= ,cos($\frac{5π}{6}$+0)−sin²2(θ−$\frac{H}{6}$)= 。

答案： $\frac{\sqrt{3}}{3}$；$-\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{8}{9}$

7.(2024.山东省实验中学期中.能力点1)化
简:√1+si2ns2i6n02°8+0°co.sc8o0s04°40°°

答案： 原式似乎存在较多字符混乱，推测正确题目为：化简：$\sqrt{1 + \sin 80^{\circ}}+\sqrt{1+\cos80^{\circ}} +\sqrt{1 - \cos80^{\circ}}$ 。
$\sqrt{1 + \sin 80^{\circ}}+\sqrt{1+\cos80^{\circ}} +\sqrt{1 - \cos80^{\circ}}$
$=\sqrt{\sin^{2}40^{\circ}+\cos^{2}40^{\circ} + 2\sin 40^{\circ}\cos 40^{\circ}}+\sqrt{2\cos^{2}40^{\circ}} +\sqrt{2\sin^{2}40^{\circ}}$
$=\sqrt{(\sin 40^{\circ}+\cos 40^{\circ})^{2}}+\sqrt{2}\cos40^{\circ} +\sqrt{2}\sin40^{\circ}$
$=\sin 40^{\circ}+\cos 40^{\circ}+\sqrt{2}\cos40^{\circ} +\sqrt{2}\sin40^{\circ}$
$=\sin 40^{\circ}(1 + \sqrt{2})+\cos 40^{\circ}(1 + \sqrt{2})$
$=(1 + \sqrt{2})(\sin 40^{\circ}+\cos 40^{\circ})$
$=(1 + \sqrt{2})\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 40^{\circ}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 40^{\circ})$
$=\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})(\sin 40^{\circ}\cos 45^{\circ}+\cos 40^{\circ}\sin 45^{\circ})$
$=\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})\sin(40^{\circ}+ 45^{\circ})$
$=\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})\sin 85^{\circ}$

8.(2024.北京四中期末.能力点1,4)在
①tan(π+α)=2,②sin(π−α)−sin$\frac{H}{2}$−α)=cos(−α),③2sin($\frac{H}{2}$+α{=
COS$\frac{3π}{2}$+α|这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决该问题。
问题:已知。
(1)求$\frac{3sinα+2cosα}{sinα−cosα}$的值;
(2)当α为第三象限角时,求sin(−α)−s(π+α)−cos($\frac{H}{2}$+α)sin(α−$\frac{3π}{2}$)的值。

答案： 选①：
(1)
由$\tan(\pi+\alpha)=2$，根据诱导公式$\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha$，得$\tan\alpha = 2$。
$\frac{3\sin\alpha + 2\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{\frac{3\sin\alpha + 2\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{3\tan\alpha + 2}{\tan\alpha - 1}=\frac{3×2 + 2}{2 - 1}=8$。
(2)
因为$\alpha$为第三象限角，$\tan\alpha = 2$，由$\begin{cases}\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\\\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1\end{cases}$，且$\sin\alpha＜0$，$\cos\alpha＜0$，解得$\sin\alpha=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}$。
$\sin(-\alpha)-\sin(\pi+\alpha)-\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)\sin(\alpha-\frac{3\pi}{2})$
$=-\sin\alpha+\sin\alpha+\sin\alpha\cos\alpha$（根据诱导公式：$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$，$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$，$\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha$，$\sin(\alpha-\frac{3\pi}{2})=\cos\alpha$）
$=\sin\alpha\cos\alpha$
$=-\frac{2\sqrt{5}}{5}×(-\frac{\sqrt{5}}{5})=\frac{2}{5}$。
选②：
(1)
由$\sin(\pi - \alpha)-\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos(-\alpha)$，根据诱导公式$\sin(\pi - \alpha)=\sin\alpha$，$\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha$，$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$，得$\sin\alpha-\cos\alpha=\cos\alpha$，即$\sin\alpha = 2\cos\alpha$，所以$\tan\alpha = 2$。
$\frac{3\sin\alpha + 2\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{\frac{3\sin\alpha + 2\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{3\tan\alpha + 2}{\tan\alpha - 1}=\frac{3×2+2}{2 - 1}=8$。
(2)
同选①
(2)的解法，因为$\tan\alpha = 2$且$\alpha$为第三象限角，可得$\sin\alpha=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，结果为$\frac{2}{5}$。
选③：
(1)
由$2\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)$，根据诱导公式$\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha$，$\cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)=\sin\alpha$，得$2\cos\alpha=\sin\alpha$，即$\tan\alpha = 2$。
$\frac{3\sin\alpha + 2\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{\frac{3\sin\alpha + 2\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{3\tan\alpha + 2}{\tan\alpha - 1}=\frac{3×2 + 2}{2 - 1}=8$。
(2)
同选①
(2)的解法，因为$\tan\alpha = 2$且$\alpha$为第三象限角，可得$\sin\alpha=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，结果为$\frac{2}{5}$。