《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

指数函数f(x)=a(a＞0,a≠1)本身不具有奇偶性,但是与指数函数通过四则运算构成的函数的奇偶性是考查指数函数性质的重要题型,求解此类问题除了利用奇、偶函数本身的性质(如若奇函数在原点处有意义,则∮(0)=0等)外,常利用指数式的运算性质求解。
利用奇偶函数的定义易知函数f(x)=$\frac{a−1}{a+1}$
(α＞0,a≠11)是奇函数($\frac{1}{(x)}$亦是)。

答案： 解
(1)由题知函数∮(x)的定义域为R,y=
($\frac{1}{2}${在R上单调递减，
∴只需求出y=x²−
2x−3的单调递增区间即可。
∵y=x²−2x−
3的图像开口向上,对称轴为直线x=1,故
在(1，+∞)上单调递增，
∴f(x)=
($\frac{1}{2}${x²−2x−3的单调递减区间是(1,+∞)。
(2)由函数y=($\frac{1}{2}${ax²−2x−3在区间(−1,2)上
单调递增,得函数y=ax²−2x−3在区间
(−1,2)上单调递减。当a=0时,y=−2x−
3在区间(−1,2)上单调递减,符合题意。
当a＜0时,由y=ax²−2x−3在区间(−1,
2)上单调递减,得$\frac{1}{a}$≤−1,解得−1≤a＜0。
当a＞0时,由y=ax²−2x−3在区间(−1,
2)上单调递减，得$\frac{1}{a}$≥2,解得0＜a≤$\frac{1}{2}$。综
上所述，实数a的取值范围是{−1,$\frac{1}{2}$]
(3)因为函数g(x)是指数函数,所以令g(x)=
ax(a＞0,a≠1),于是得f(x)=ax+1。由于
∮(x)单调递增,因此a＞1。又f
(1)=a+1＞
3,解得a＞2。可取a=3,则∮(x)=3x+1。
答
(1)(1,+∞)
(2)[−1,$\frac{1}{2}$]
(3)3+
1(答案不唯一)

例5
已知∮(x)为定义在[−1,1]上的奇函数,当
x∈(0,1]时,∮(x)=$\frac{2}{4+1}$。
(1)求∮(x)在[−1,1]上的解析式;
(2)用函数单调性的定义证明∮(x)在(0,1]
上是单调减函数;
(3)若∮(x)=x+b在[−1,1]上有解,求b
的取值范围。
[例]已知函数y=f(x)是R上的奇函数,当x≤0 解(1)设x∈[−1,0),则−x∈(0,1],根时，f(x)=$\frac{3}{9+1}$−$\frac{1}{2}$。
(1)判断并证明y=f(x)在(−∞,0]上的单调性;
(2)求y=f(x)的值域。
[答](1)y=f(x)在(−∞,0]上是单调增函数,证明如下:
任取x1＜x2≤0,则3＜3²,3x−+x＜1。
因为f(x,)−f(x2)=$\frac{3}{9+1}$−$\frac{3}{9+1}$
=$\frac{3x+2x−32x+x−32+3}{(9²+1)(9+1)}$
=(3(9−3+1))((19−x23++1))＜0,
所以∮(x1)＜∮(x2),即y=A(x)在(−∞,0]上是单调增函数。
(2)因为函数∮(x)在(−∞,0]上是单调增函数，所以∮(x)≤∫(0)=$\frac{30}{9°+1}$−$\frac{1}{2}$=0。
又∮(x)＞−$\frac{1}{2}$,
所以当x≤0时,f(x)=$\frac{3}{9+1}$−$\frac{1}{2}$的值域为(−$\frac{1}{2}$o
因为函数f(x)为奇函数,所以由对称性可知,函 数,故当x∈[−1,0)时,g(x)=(−数fx)在(0,+∞)上的值域为(0,$\frac{1}{2}$}。
综上可知,y=f(x)的值域为(−$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$)o
据∮(x)在(0,1]上的解析式,利用奇函数的
性质求其解析式;(2)利用函数单调性的定
义证明;(3)分离参数b=f(x)−x,根据单
调性求A(x)−x在[−1,1]上的值域。

答案： 答
(1)设−1≤x＜0,则0＜−x≤1,
所以∮(−x)=$\frac{2−}{4−+1}$=$\frac{2}{4+1}$。
因为f(x)在[−1,1]上为奇函数,
所以当−1≤x＜0时,f(x)=−f(−x)=
−$\frac{2}{4+1}$。
又∮
(0)=0,
−$\frac{2}{4+1}$,−1≤x＜0,
所以∮(x)=0,x=0,
,0＜x≤1。
{
$\frac{2}{4+1}$
(2)任取0＜x1＜x2≤1,则∮(x1)−∮(x2)=
$\frac{2}{4+1}$−$\frac{2}{4²+1}$=(2(4+x氢+−11))((42+−12))。因
为0＜x＜x2≤1,所以2+x−1＞0,2²−
2＞0,所以f(x1)−f(x2)＞0,即f(x1)＞
∮(x2),所以∮(x)在(0,1]上是单调减函数。
(3)由题意知,方程b=∮(x)−x在[−1,1]
上恒有实数解。设g(x)=∮(x)−x,则g(x)
为(0,1]上的单调减函数,所以g(x)∈
[−$\frac{3}{5}$,$\frac{1}{2}$)。易知g(x)为[−1,1]上的奇函
$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{5}$]o
而g
(0)=0,,所以g(x)=[[−$\frac{3}{5}$,$\frac{3}{5}$],即be
[−$\frac{3}{5}$,$\frac{3}{5}$].