《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

7.(能力点1)某化工厂制订明年某产品的生产
计划,受下面几个条件的制约:①生产此产品的工人不超过200人;②每个工人的年工作时间为2100h;③预计此产品明年的销售量至少为80000袋;④生产每袋产品需用4h;③生产每袋产品需用原料20kg;⑥本年年底库存原料600t,明年可补充1200t。试根据这些数据预测明年的产量。

答案： 设明年产量为$ x $袋。
1. 工时限制：
工人不超过200人，每人年工作2100h，总工时上限为$ 200 × 2100 = 420000 \, h $，每袋需4h，故$ 4x \leq 420000 $，解得$ x \leq 105000 $。
2. 销售量限制：
销售量至少80000袋，故$ x \geq 80000 $。
3. 原料限制：
库存原料600t+补充1200t=1800t=1800000kg，每袋需20kg，故$ 20x \leq 1800000 $，解得$ x \leq 90000 $。
综合得：$ 80000 \leq x \leq 90000 $。
结论：明年产量应在80000袋到90000袋之间。

8.(2024.湖南长沙开物中学月考.能力点
4)若a＞b＞0,c＜d＜0,1bl＞lcl。
(1)求证:b+c＞0;
(2)求证:$\frac{b+c}{(a−c)²}$＜$\frac{a+d}{(b−d)²}$。

答案：
(1)证明：因为$b＞0$，所以$|b|=b$；因为$c＜0$，所以$|c|=-c$。由$|b|＞|c|$得$b＞-c$，两边加$c$，得$b+c＞0$。
(2)证明：因为$c＜d＜0$，所以$-c＞-d＞0$。又$a＞b＞0$，同向不等式相加得$a+(-c)＞b+(-d)$，即$a - c＞b - d＞0$，故$(a - c)^2＞(b - d)^2＞0$，从而$\frac{1}{(a - c)^2}＜\frac{1}{(b - d)^2}$。
因为$a＞b$且$d＞c$（$c＜d$），同向不等式相加得$a + d＞b + c$。由
(1)知$b + c＞0$，故$a + d＞b + c＞0$。
因为$a + d＞b + c＞0$且$\frac{1}{(a - c)^2}＜\frac{1}{(b - d)^2}＞0$，所以$\frac{b + c}{(a - c)^2}＜\frac{a + d}{(b - d)^2}$。