《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例2−2
已知−3是由x−2,2x²+5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x的值。
解−3是集合中的元素说明x−2=−3或
2x²+5x=−3,需分类讨论求解,求出x后应
注意检验是否满足元素的互异性。

点评，求解此类问题时，既要利用集合中元
素的确定性，又要注意对集合中元素互异性的检验和分类讨论思想的应用。初学者易
忽视对集合中元素互异性的检验，学习中必
须高度重视集合中元素的互异性。

答案： 由题意可知，$x - 2 = -3$或$2x^2 + 5x = -3$。
① 当$x - 2 = -3$时，解得$x = -1$。将$x = -1$代入集合元素，得$x - 2 = -3$，$2x^2 + 5x = 2×(-1)^2 + 5×(-1) = 2 - 5 = -3$，此时集合的三个元素为$-3$，$-3$，$12$，不满足集合中元素的互异性，故舍去。
② 当$2x^2 + 5x = -3$时，方程可化为$2x^2 + 5x + 3 = 0$，即$(2x + 3)(x + 1) = 0$，解得$x = -\frac{3}{2}$或$x = -1$（已舍去）。当$x = -\frac{3}{2}$时，$x - 2 = -\frac{3}{2} - 2 = -\frac{7}{2}$，此时集合的三个元素为$-\frac{7}{2}$，$-3$，$12$，满足集合中元素的互异性。
综上，$x = -\frac{3}{2}$。

例32024.天津市实验中学月考
已知集合A是由元素x组成的,其中x=m+
√2n,m,n∈Z。设x1=$\frac{1}{3−4√2}$,x2=
√9−4√2,x3=(1−3√2)²,试判断x1,x2,

答案： x1=1/(3−4√2)=(3+4√2)/[(3−4√2)(3+4√2)]=(3+4√2)/(-23)=-3/23-4√2/23，m=-3/23,n=-4/23∉Z，故x1∉A。
x2=√(9−4√2)=√[(2√2−1)²]=2√2−1=-1+2√2，m=-1,n=2∈Z，故x2∈A。
x3=(1−3√2)²=1−6√2+18=19−6√2，m=19,n=-6∈Z，故x3∈A。
结论：x1∉A，x2∈A，x3∈A。