《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1-1 2024·辽宁大连模拟
下列说法中正确的是()。

A.若函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0, +\infty)$，且满足 $f(1) ＜ f(2) ＜ f(3)$，则函数 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上是增函数
B.定义在 $(a,b)$ 上的函数 $f(x)$，若有无穷多对 $x_1, x_2 \in (a,b)$，当 $x_1 ＜ x_2$ 时，有 $f(x_1) ＜ f(x_2)$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上为增函数
C.若函数 $f(x)$ 在区间 $I_1$ 上单调递减，在区间 $I_2$ 上也单调递减，则 $f(x)$ 在区间 $I_1 \cup I_2$ 上就一定单调递减
D.对任意的 $x_1, x_2 \in (a,b)$，且 $x_1 \neq x_2$，当 $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} ＜ 0$ 时，$f(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调递减

答案： 解 A 不正确，增(减)函数的定义突出了 $x_1, x_2$ 的任意性，仅凭区间内有限个函数值的关系，不能判断函数的单调性。B 不正确，“无穷多对”不能代表“所有”“任意”。以 $f(x)=\frac{1}{x}$ 为例知 C 不正确。$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} ＜ 0$ 等价于 $[f(x_1)-f(x_2)] · (x_1-x_2) ＜ 0$，而此式又等价于 $\begin{cases} f(x_1)-f(x_2) ＞ 0, \\ x_1-x_2 ＜ 0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} f(x_1)-f(x_2) ＜ 0, \\ x_1-x_2 ＞ 0, \end{cases}$ 即 $\begin{cases} f(x_1) ＞ f(x_2), \\ x_1 ＜ x_2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} f(x_1) ＜ f(x_2), \\ x_1 ＞ x_2, \end{cases}$ 故 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调递减，D 正确。
答 D