《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3 一
解不等式α(xx−−21)＞1(a＞0)。
错解原不等式等价于α(xx−−21)−1＞0,即α(x−1)−2(x−2)＞0,所以[(a−1)x−(a−
2)]((x−2)＞0。即((α−1)((x−$\frac{a−2}{a−1}$)(x−2)＞
0,所以当a＞1时,2＞$\frac{a−2}{a−1}$,不等式的解集为x＞2或x＜$\frac{a−2}{a−1}$;当0＜a＜1时,2＜$\frac{a−2}{a−1}$,不等式的解集为x＞$\frac{a−2}{a−1}$或x＜2。
错因分析,当化简到(α−1)(x−$\frac{a−2}{a−1}$)(x−
2)＞0时是正确的。分α＞1时和0＜a＜1时讨论后，一是遗漏了α=1这一情况;二是当
0＜α＜1时不等式等价于x−$\frac{a−2}{a−1}$)(x−2)＜
0,要变号。
正解若α=1,则原不等式可以转化为x＞2。若a≠1,则同上述解法,得到(α−1)(x−
$\frac{a−2}{a−1}$)(x−2)＞0 ①,当α＞1时,①式可以转化为(x−$\frac{a−2}{a−1}$)(x−2)＞0;当0＜α＜1时,①式可以转化为(x−$\frac{a−2}{a−1}$)(x−2)＜0。
又当a≠1时,2−$\frac{a−2}{a−1}$=$\frac{a}{a−1}$,
所以当a＞1时,2＞$\frac{a−2}{a−1}$;
当0＜a＜1时,2＜$\frac{a−2}{a−1}$。
故当α=1时,原不等式的解集为|xlx＞2}。
当α ＞1 时，原不等式的解集为{x|x＜$\frac{a−2}{a−1}$或x＞2{o
当0＜α＜1时,原不等式的解集为{x|2＜x＜$\frac{a−2}{a−1}$
满分策略，在不等式转化的过程中，要特别注意等价性。在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则必然导致分类讨论不完全。另外，对参数a可能取值的范围必须全部给予讨论,不可遗漏。

答案： 解不等式 $ a·\frac{x-1}{x-2} ＞ 1 $（$ a ＞ 0 $）
1. 移项通分：
原不等式等价于 $ a·\frac{x-1}{x-2} - 1 ＞ 0 $，通分得 $ \frac{a(x-1)-(x-2)}{x-2} ＞ 0 $。
2. 化简分子：
分子 $ a(x-1)-(x-2) = (a-1)x + (2 - a) = (a-1)x - (a - 2) $，不等式化为 $ \frac{(a-1)x - (a - 2)}{x - 2} ＞ 0 $，即 $ [(a-1)x - (a - 2)](x - 2) ＞ 0 $。
分类讨论参数 $ a $：
当 $ a = 1 $ 时：
分子为 $ 1 $，不等式变为 $ \frac{1}{x - 2} ＞ 0 $，解得 $ x ＞ 2 $。
解集：$ \{x | x ＞ 2\} $。
当 $ a ＞ 1 $ 时：
$ a - 1 ＞ 0 $，不等式等价于 $ (x - \frac{a - 2}{a - 1})(x - 2) ＞ 0 $。
比较根：$ 2 - \frac{a - 2}{a - 1} = \frac{a}{a - 1} ＞ 0 $，即 $ 2 ＞ \frac{a - 2}{a - 1} $。
解集：$ \{x | x ＜ \frac{a - 2}{a - 1} $ 或 $ x ＞ 2\} $。
当 $ 0 ＜ a ＜ 1 $ 时：
$ a - 1 ＜ 0 $，不等式等价于 $ (x - \frac{a - 2}{a - 1})(x - 2) ＜ 0 $。
比较根：$ 2 - \frac{a - 2}{a - 1} = \frac{a}{a - 1} ＜ 0 $，即 $ 2 ＜ \frac{a - 2}{a - 1} $。
解集：$ \{x | 2 ＜ x ＜ \frac{a - 2}{a - 1}\} $。
最终解集：
当 $ a = 1 $ 时，$ \{x | x ＞ 2\} $；
当 $ a ＞ 1 $ 时，$ \{x | x ＜ \frac{a - 2}{a - 1} $ 或 $ x ＞ 2\} $；
当 $ 0 ＜ a ＜ 1 $ 时，$ \{x | 2 ＜ x ＜ \frac{a - 2}{a - 1}\} $。