《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3-1
已知函数$f(x)$，当$x,y \in \mathbf{R}$时，恒有$f(x + y)=f(x)+f(y)$。当$x＞0$时，$f(x)＞0$。
(1)求证：$f(x)$是奇函数。
(2)若$f(1)=\frac{1}{2}$，试求$f(x)$在区间$[-2,6]$上的最值。
(3)是否存在$m$，使$f(2(\log_2 x)^2 - 4)+f(4m - 2\log_2 x)＞0$对于任意$x \in [1,2]$恒成立？若存在，求出实数$m$的取值范围；若不存在，说明理由。

答案： 答　
(1)令$x = 0,y = 0$，则$f(0)=2f(0)$，
$\therefore f(0)=0$。令$y = -x$，则$f(0)=f(x)+f(-x)$，即$f(x)+f(-x)=0$，$\therefore f(-x)=-f(x)$，$\therefore f(x)$为奇函数。
(2)任取$x_1,x_2 \in \mathbf{R}$，且$x_1＜x_2$。$\because f(x + y)=f(x)+f(y)$，且$f(x)$为奇函数，$\therefore f(x_2)-f(x_1)=f(x_2 - x_1)$。$\because$当$x＞0$时，$f(x)＞0$，且$x_1＜x_2$，$\therefore f(x_2 - x_1)＞0$，即$f(x_2)＞f(x_1)$，
$\therefore f(x)$为增函数，$\therefore$当$x = -2$时，函数有最小值，$f(x)_{\min}=f(-2)=-f(2)=-2f(1)=-2 × \frac{1}{2}=-1$。当$x = 6$时，函数有最大值，$f(x)_{\max}=f(6)=6f(1)=6 × \frac{1}{2}=3$。
(3)存在。理由如下：$\because$函数$f(x)$为奇函数，
$\therefore$不等式$f(2(\log_2 x)^2 - 4)+f(4m - 2\log_2 x)＞0$可化为$f(2(\log_2 x)^2 - 4)＞f(2\log_2 x - 4m)$。又$\because f(x)$为$\mathbf{R}$上的增函数，$\therefore 2(\log_2 x)^2 - 4＞2\log_2 x - 4m$。令$t = \log_2 x$，若$x \in [1,2]$，则$0 \leq t \leq 1$。问题转化为$2t^2 - 4＞2t - 4m$在$t \in [0,1]$上恒成立，即$4m＞-2t^2 + 2t + 4$对任意$t \in [0,1]$恒成立。令$y = -2t^2 + 2t + 4 = -2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{2}(0 \leq t \leq 1)$，$\therefore$当$t = \frac{1}{2}$时，$y$取最大值，为$\frac{9}{2}$，则$4m＞\frac{9}{2}$，即$m＞\frac{9}{8}$，$\therefore m$的取值范围是$(\frac{9}{8},+\infty)$。