《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3 2022·全国高中数学联赛福建赛区预赛
已知$A_1,A_2,·s,A_n$是集合$A = \{1,2,3,·s,10\}$的$n$个非空子集，若对于任意的$i,j\in\{1,2,3,·s,n\}$，均有$A_i\cup A_j\neq A$，则$n$的最大值为。

答案： 解 将集合$A = \{1,2,3,·s,10\}$的$2^{10} - 1 =1023$(个)非空子集分成512组：第1组为集合$A$；第2组到第512组，每组2个子集，且这2个子集的并集为集合$A$(易知这种分组是存在的，事实上只需将$A$的非空真子集$B$与$B$在$A$中的补集分在同一组即可)。
当$n\geqslant 512$时，若$A_1,A_2,·s,A_n$中含有集合$A$，则显然不符合要求，若$A_1,A_2,·s,A_n$中不含有集合$A$，则根据上述分组和抽屉原理知，$A_1,A_2,·s,A_n$中必有两个集合在同一组，它们的并集为集合$A$，也不符合要求，所以$n\leqslant 511$。
另一方面，集合$\{1,2,3,·s,9\}$有511个非空子集，对于其中任意两个子集$X$和$Y$，均有$X\cup Y\neq A$。可见$n = 511$符合要求。
所以$n$的最大值为511。
答 511

例4 北京大学强基计划
有限个元素组成的集合$A = \{a_1,a_2,·s,a_n\},n\in\mathbf{N}^{*}$，记集合$A$中的元素个数为$ card(A)$，即$ card(A) = n$。定义$A + A = \{x + y\mid x\in A,y\in A\}$，集合$A + A$中的元素个数记为$ card(A + A)$，当$ card(A + A) = \frac{n(n + 1)}{2}$时，称集合$A$具有性质$P$。
(1)$A = \{1,4,7\}$，$B = \{2,4,8\}$，判断集合$A$，$B$是否具有性质$P$，并说明理由；
(2)设集合$A = \{a_1,a_2,a_3,2022\},a_1 ＜ a_2 ＜ a_3 ＜ 2022$且$a_i\in\mathbf{N}^{*}(i = 1,2,3)$，若集合$A$具有性质$P$，求$a_1 + a_2 + a_3$的最大值。

答案： 答 (1)集合$A$不具有性质$P$，集合$B$具有性质$P$。$\because A = \{1,4,7\}$，$B = \{2,4,8\}$，$\therefore A + A = \{2,5,8,11,14\}$，$ card(A + A) = 5\neq\frac{3×(3 + 1)}{2}$，则集合$A$不具有性质$P$。易得$B + B = \{4,6,8,10,12,16\}$，$ card(B + B) = 6 = \frac{3×(3 + 1)}{2}$，则集合$B$具有性质$P$。
(2)$\because a_1 ＜ a_2 ＜ a_3 ＜ 2022$，且$a_i\in\mathbf{N}^{*}$，$\therefore a_3\leqslant2021$，要使$a_1 + a_2 + a_3$取最大，则$a_3 = 2021$，$a_2\leqslant 2020$，当$a_2 = 2020$时，$2022 + 2020 = 2×2021$，则$\{2020,2021,2022\}$不具有性质$P$，要使$a_1 + a_2 + a_3$取最大，则$a_2 = 2019$，$a_1\leqslant 2018$，当$a_1 = 2018$时，$2022 + 2018 = 2021 + 2019$，则$\{2018,2019,2021,2022\}$不具有性质$P$。当$a_1 = 2017$时，$2021 + 2017 = 2×2019$，则$\{2017,2019,2021\}$不具有性质$P$。当$a_1 =2016$时，则$\{2016,2019,2021,2022\}$具有性质$P$，则使得$a_1 + a_2 + a_3$取最大，可得$a_3 = 2021$，$a_2 = 2019$，$a_1 = 2016$，$\therefore$若集合$A$具有性质$P$，则$a_1 + a_2 + a_3$的最大值为6056。