《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例12021. 上海高考
不等式$\frac{2x+5}{x−2}$＜1的解集为。
解$\frac{2x+5}{x−2}$＜1,即$\frac{2x+5}{x−2}$−1＜0,即$\frac{x+7}{x−2}$＜0,即(x+7)(x−2)＜0,解得−7＜x＜2,因此不等式的解集为(−7,2)。
答(−7,2)
解题通法
,o 解分式不等式的基本思路
解分式不等式的思路−转化为整式不等
式求解。
化分式不等式为标准形式的方法:移项,通
分，不等式右边化为0,左边化为$\frac{y}{y}$的形式，
然后将分式不等式转化为整式同解不等式
求解。特别地,形如$\frac{y}{y}$＞a(a≠0)的分式不
等式，可同解变形为$\frac{y−ay2}{y}$＞0,故可转化
为解y2(y−ay2)＞0。

答案： 解：$\frac{2x+5}{x-2} ＜ 1$
移项得：$\frac{2x+5}{x-2} - 1 ＜ 0$
通分得：$\frac{2x+5 - (x - 2)}{x - 2} ＜ 0$，即$\frac{x + 7}{x - 2} ＜ 0$
等价于：$(x + 7)(x - 2) ＜ 0$
解得：$-7 ＜ x ＜ 2$
答：$(-7, 2)$

例2
(1)(全国I高考)已知集合A=|xlx²−3x−
4＜0},B=|−4,1,3,5{,则A∩B=()。
A.|−4,1} B.{1,5}
C.{3,5} D.{1,3}
(2)(全国II高考)设集合A={xlx²−5x+6＞
0},B={xlx−1＜0},则A∩B=()。
A.(−∞,1) B.(−2,1)
C.(−3,−1) D.(3,+∞)
解(1)由x²−3x−4＜0,得(x−4)(x+1)＜
0,解得−1＜x＜4,∴A=|x｜−1＜x＜4}。又
∵B=|−4,1,3,5},∴A∩B=|1,3}。故选D。
(2)由题意可知,A={xlx＜2或x＞3{,B=|xl
x＜1},∴A∩B=(−∞,1)。故选A。
答(1)D (2)A

答案：
(1)
由$x^{2}-3x - 4\lt0$，因式分解得$(x - 4)(x + 1)\lt0$。
则$\begin{cases}x - 4\gt0\\x + 1\lt0\end{cases}$或$\begin{cases}x - 4\lt0\\x + 1\gt0\end{cases}$。
第一个不等式组无解，解第二个不等式组得$-1\lt x\lt4$，所以$A=\{x|-1\lt x\lt4\}$。
又$B =\{-4,1,3,5\}$，所以$A\cap B=\{1,3\}$。
答案选D。
(2)
由$x^{2}-5x + 6\gt0$，因式分解得$(x - 2)(x - 3)\gt0$。
则$\begin{cases}x - 2\gt0\\x - 3\gt0\end{cases}$或$\begin{cases}x - 2\lt0\\x - 3\lt0\end{cases}$。
解$\begin{cases}x - 2\gt0\\x - 3\gt0\end{cases}$得$x\gt3$，解$\begin{cases}x - 2\lt0\\x - 3\lt0\end{cases}$得$x\lt2$，所以$A = \{x|x\lt2或x\gt3\}$。
由$x - 1\lt0$得$x\lt1$，所以$B=\{x|x\lt1\}$。
所以$A\cap B=(-\infty,1)$。
答案选A。
答：
(1)D；
(2)A。

例3全国I高考
设集合A=|xlx²−4≤0{,B=|x|2x+a≤0},
且A∩B=|x|−2≤x≤1{,则a=()。

A.−4
B.−2
C.2
D.4
解易知A=|x|−2≤x≤2},B=
{x|x≤−$\frac{a}{2}${。因为A∩B=|x|−2≤x≤1{,所
以−$\frac{a}{2}$=1,解得α=−2。
答B

答案： B

例4 重庆高考改编 二二
关于x的不等式x²−2ax−8a²＜0(a＞0)的解
集为(x,x2),且x2−x=15,则a=。
解方法一:x²−2ax−8a²＜0可化为(x+
2a).(x−4a)＜0。因为α＞0且解集为(x,
x2),则x1=−2a,x2=4a,所以x2−x=6a=15,
解得a=$\frac{5}{2}$。
方法二:由条件知x1,x2为方程x²2−2ax−8a²2=
0的两根,则x+x2=2a,x1×2=−8a²,故(x2−
x1)²=(x1+x2)²−4×1x=(2a)²−4×(−8a²)=
36a²=15²,结合a＞0得a=$\frac{5}{2}$。
答$\frac{5}{2}$

答案： 解：
方法一：
将不等式 $x^{2} - 2ax - 8a^{2} ＜ 0$ 因式分解为 $(x + 2a)(x - 4a) ＜ 0$。
因为$a ＞ 0$，且解集存在两个端点 $x_1$ 和 $x_2$（$x_1 ＜ x_2$），则：
$x_1 = -2a, \quad x_2 = 4a$，
根据题目条件 $x_2 - x_1 = 15$，代入得：
$4a - (-2a) = 15$，
$6a = 15$，
解得 $a = \frac{5}{2}$。
方法二：
由条件知 $x_1, x_2$ 为方程 $x^{2} - 2ax - 8a^{2} = 0$ 的两根，根据韦达定理，有：
$x_1 + x_2 = 2a, \quad x_1 × x_2 = -8a^{2}$，
利用平方差公式，有：
$(x_2 - x_1)^{2} = (x_1 + x_2)^{2} - 4x_1x_2$，
代入 $x_2 - x_1 = 15$，$x_1 + x_2 = 2a$，$x_1 × x_2 = -8a^{2}$，得：
$15^{2} = (2a)^{2} - 4 × (-8a^{2})$，
$225 = 4a^{2} + 32a^{2}$，
$225 = 36a^{2}$，
$a^{2} = \frac{225}{36}$，
因为$a＞0,$所以
$a = \frac{5}{2}$，
答：$a = \frac{5}{2}$。