《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1-3 (多选)下列各式错误的是()。

A.$\sqrt{(-3)^{2}}=-3$
B.$\sqrt[4]{a^{4}}=a$
C.$\sqrt{2^{2}}=2$
D.$\sqrt[3]{(-2)^{3}}=2$

答案： 解 对于A,$\sqrt{(-3)^{2}}=3$,故A错误;对于B,$\sqrt[4]{a^{4}}=|a|$,故B错误;对于C,$\sqrt{2^{2}}=2$,故C正确;对于D,$\sqrt[3]{(-2)^{3}}=-2$,故D错误。故选ABD。
答 ABD

例2-1 计算下列各式的值:
(1)$(2\frac{7}{9})^{0.5}+0.1^{-2}+(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}}-3\pi^{0}+\frac{37}{48}$;
(2)$0.064^{-\frac{1}{3}}-(-\frac{7}{8})^{0}+[(-2)^{3}]^{-\frac{4}{3}}+16^{-0.75}+|-0.01|^{\frac{1}{2}}$;
(3)$(-3\frac{3}{8})^{-\frac{2}{3}}+(0.002)^{-\frac{1}{2}}-10(\sqrt{5}-2)^{-1}+(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{0}$。
【概念辨析】
①分数指数幂的运算性质和整数指数幂的运算性质在形式上完全相同,只是幂指数的范围不同。
分数指数幂$a^{\frac{m}{n}}$是根式$\sqrt[n]{a^{m}}$的另一种写法,其中根指数$n$为幂指数中的分母,被开方数的指数$m$为幂指数中的分子。根式$\sqrt[n]{a^{m}}$与分数指数幂$a^{\frac{m}{n}}$表示的意义相同,只是形式不同。
②分数指数幂$a^{\frac{m}{n}}$不能理解为$\frac{m}{n}$个$a$相乘,这与整数指数幂不同。
分数指数$\frac{m}{n}$不能随意约分,约分后可能因改变底数$a$的取值范围而造成错误。例如,$(-3)^{\frac{2}{4}}$约分后为$(-3)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-3}$,而$\sqrt{-3}$在实数范围内是无意义的。
③在保证相应的根式有意义的前提下,负数也存在分数指数幂,如$(-5)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{(-5)^{2}}$有意义,但$(-5)^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{(-5)^{3}}$就没有意义。
2 有理数指数幂的运算性质
有了分数指数幂的意义以后,指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数。对于有理数指数幂,原整数指数幂的运算性质保持不变,即
其中$s,t\in\mathbf{Q},a＞0,b＞0$。
【说明】
有理数指数幂的运算性质除上述之外,还有如下性质:(1)$a^{r}÷ a^{s}=a^{r-s}(a＞0,r,s\in\mathbf{Q})$;(2)$(\frac{a}{b})^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}}(a＞0,b＞0,r\in\mathbf{Q})$。若无特殊说明,底数中的字母均为正数。

答案：
答
(1)原式$=(\frac{25}{9})^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{0.1^{2}}+(\frac{64}{27})^{-\frac{2}{3}}-3+\frac{37}{48}=\frac{5}{3}+100+\frac{9}{16}-3+\frac{37}{48}=100$。
(2)原式$=0.4^{-1}-1+(-2)^{-4}+2^{-3}+0.1=\frac{5}{2}-1+\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}=\frac{143}{80}$。
(3)原式$=(-1)^{-\frac{2}{3}}×(3\frac{3}{8})^{-\frac{2}{3}}+(\frac{1}{500})^{-\frac{1}{2}}-\frac{10}{\sqrt{5}-2}+1=(\frac{27}{8})^{-\frac{2}{3}}+500^{\frac{1}{2}}-10(\sqrt{5}+2)+1=\frac{4}{9}+10\sqrt{5}-10\sqrt{5}-20+1=-\frac{167}{9}$。
点评 一般地,进行指数幂的运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,便于进行乘除、乘方、开方运算,以达到化繁为简的目的。但化简的结果形式上要统一,不能既含根号,又含分数指数幂。