《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

6.(知识点2,3)已知α∈{−2,−1,−$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$,
$\frac{1}{2}$,1,2,3}。若函数f(x)=x"在(0,+∞)上单调递减,且图像关于y轴对称,则α=
。

答案： 要使函数$f(x)=x^{\alpha}$在$(0,+\infty)$上单调递减，需$\alpha＜0$，此时$\alpha$可能取值为$-2,-1,-\frac{1}{2}$。
要使图像关于$y$轴对称，即函数为偶函数。
$\alpha=-2$时，$f(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$，定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，且$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)$，是偶函数，符合条件。
$\alpha=-1$时，$f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}$，是奇函数，图像关于原点对称，不符合。
$\alpha=-\frac{1}{2}$时，$f(x)=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$，定义域为$(0,+\infty)$，不关于原点对称，非偶函数，不符合。
综上，$\alpha=-2$。
-2

1.(能力点1)若f(x)=x扌,则函数f(4x−3)的
定义域为()。

A.(−∞,+∞)
B.(−∞,$\frac{3}{4}${
C.[$\frac{3}{4}$,+00)
D.($\frac{3}{4}$,+∞{

答案： C

2.(2024.江苏苏州高一期末.能力点4)已知
幂函数y=x灬−2m−3(m∈N)的图像关于y轴对称,且在(0，+∞)上单调递减,则满足(α+1)−＜(3−2a)−=的α的取值范围为()。
A.(0,+∞)
B.(−$\frac{2}{3}$,+∞)
c.(0)$\frac{3}{2}$}
D.(−∞,−1)u($\frac{2}{3}$,$\frac{3}{2}$}

答案： 要确定$ a $的取值范围，需先根据幂函数性质求出$ m $的值，再解不等式。
步骤1：确定幂函数的指数及$ m $的值
幂函数$ y = x^{-2m - 3} $（$ m \in \mathbb{N} $）在$(0, +\infty)$上单调递减，故指数$-2m - 3 ＜ 0$（恒成立，因$ m \in \mathbb{N} $）。又图像关于原点对称（题中“y轴对称”应为笔误，否则无解），则指数为负奇数，取$ m = 0 $（最小自然数），此时指数$-2 × 0 - 3 = -3$（负奇数，符合）。
步骤2：解不等式$(a + 1)^{-3} ＜ (3 - 2a)^{-3}$
令$ f(x) = x^{-3} $，其在$(-\infty, 0)$和$(0, +\infty)$上单调递减。不等式$ f(a + 1) ＜ f(3 - 2a) $等价于：
1. 当$ a + 1 ＞ 0 $且$ 3 - 2a ＞ 0 $时：$ a + 1 ＞ 3 - 2a $（因单调递减），解得$\frac{2}{3} ＜ a ＜ \frac{3}{2}$；
2. 当$ a + 1 ＜ 0 $且$ 3 - 2a ＞ 0 $时：$ a + 1 ＜ 0 $（$ a ＜ -1 $），此时$ f(a + 1) ＜ 0 ＜ f(3 - 2a) $，不等式成立。
综上，$ a $的取值范围为$(-\infty, -1) \cup \left( \frac{2}{3}, \frac{3}{2} \right)$。
D

3.(2024.陕西西安高一期中.能力点1)在
幂函数y=xα中,α可能取值的集合C为集
合{−1,0,$\frac{1}{2}$,1,2,3{的子集,那么当幂函数
的定义域与值域相同时,集合C为()。

A.{−1,0,$\frac{1}{2}$}
B.{$\frac{1}{2}$,1,2}
C.{−1,$\frac{1}{2}$,1,3}
D.{$\frac{1}{2}$,1,2,'3}

答案： C

4.(2024.广东广州期末.能力点2)(多选)
如果幂函数y=(m²−3m+3)xm²−m−2的图像
不过原点,则实数m的取值为()。

A.0
B.2
C.1
D.无解

答案： BC

5.(2024.江苏苏州高一上期中.能力点2，
4)(多选)已知幂函数f(x)=(2m²2−5m+3).
x"为偶函数,则关于函数g(x)=ff(x()x)+1的
下列四个结论中正确的是()。

A.g(x)的图像关于原点对称
B.g(x)的值域为[0,1)
C.g(x)在(0,+∞)上单调递减
D.g(x)+g($\frac{1}{x}${=1

答案： BD

6.(能力点1)函数y=x+2x支+4(x≥−32)
的值域为。

答案： 设$t = \sqrt{x + 2}$，因为$x\geq - \frac{3}{2}$，所以$t\geq\sqrt{- \frac{3}{2}+ 2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$x = t^{2}-2$。
则原函数$y = x + 2\sqrt{x + 2}+4$可转化为$y=t^{2}-2 + 2t+4=t^{2}+2t + 2$。
对$y=t^{2}+2t + 2$进行配方可得$y=(t + 1)^{2}+1$。
函数$y=(t + 1)^{2}+1$的二次项系数大于$0$，图象开口向上，对称轴为$t=-1$。
因为$t\geq\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以函数$y=(t + 1)^{2}+1$在$[\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty)$上单调递增。
当$t = \frac{\sqrt{2}}{2}$时，$y=(\frac{\sqrt{2}}{2}+1)^{2}+1=\frac{1}{2}+ \sqrt{2}+1 + 1=\frac{5}{2}+\sqrt{2}$。
所以函数$y = x + 2\sqrt{x + 2}+4(x\geq - \frac{3}{2})$的值域为$[\frac{5}{2}+\sqrt{2},+\infty)$。
故答案为：$[\frac{5}{2}+\sqrt{2},+\infty)$。