《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例2−1
函数y=(($\frac{1}{4}$)+($\frac{1}{2}$)x+1的值域为。
2
错解令t=(($\frac{1}{2}${,则y=tt²+t+1=(t+$\frac{1}{2}${+
$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$,即当t=−$\frac{1}{2}$时,ymin=$\frac{3}{4}$,则y=($\frac{1}{4}${+
{$\frac{1}{2}${+1的值域为[$\frac{3}{4}$,+∞)。
错因分析;t=($\frac{1}{2}${＞0,错解中忽略了这一点，
把t的取值范围当成了实数集R。
正解令t=($\frac{1}{2}$)x,则t＞0,则原函数转化为
2
f(t)=t²+t+1=(tt+$\frac{1}{2}${+$\frac{3}{4}$,t＞0。因为函数
2
f(t)=(t+$\frac{1}{2}$)+$\frac{3}{4}$在(0,+∞)上为增函数,所
以∮(t)＞1,即原函数的值域为(1,+∞)。

答案： 答(1,+∞∞)
满分策略，解决与指数函数有关的问题时，经常
用到换元法，以达到化繁为简的目的，但换元
时,必须考虑原函数的定义域及值域,并由此
确定新元的范围，以达到等价转化，避免因考虑
不周而失分。
例2−2
已知方程9−2.3”+3k−1=0有两个实数根，
那么实数k的取值范围为

。
错解令t=3,则原方程可化为t²−2t+3k−
1=0,要使方程有两个实数根,则△=(−2)²−
4(3k−1)≥0,解得k≤$\frac{2}{3}$。
错因分析，导致上述错误解答的原因是在换元
后,t=3"＞0。而A≥0只能保证方程t²2−2tt+
3k−1=0有两个实数根,不能保证方程t2−
2t+3k−1=0有两个正实数根。
正解令t=3",则t＞0。原方程有两个实数根，
即方程t2−2t+3k−1=0有两个正实数根,设
这两个正实数根分别为 t1,t2,则
△=(−2)²−4(3k−1)≥0,
{t+t2=2＞0, 解得$\frac{1}{3}$＜k≤$\frac{2}{3}$。
t!t2=3k−1＞0,
答($\frac{1}{3}$,$\frac{2}{3}${