《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例2 (1)(2021·新高考Ⅱ)设函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(x+2)$为偶函数，$f(2x+1)$为奇函数，则()。
A. $f(-\frac{1}{2})=0$
B. $f(-1)=0$
C. $f(2)=0$
D. $f(4)=0$
(2)(2021·全国甲高考)设函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(x+1)$为奇函数，$f(x+2)$为偶函数，当$x∈[1,2]$时，$f(x)=ax^2+b$。若$f(0)+f(3)=6$，则$f(\frac{9}{2})=$()。
A. $-\frac{9}{4}$
B. $-\frac{3}{2}$
C. $\frac{7}{4}$
D. $\frac{5}{2}$
(3)(2021·全国甲高考)设$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的奇函数，且$f(1+x)=f(-x)$。若$f(-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}$，则$f(\frac{5}{3})=$()。
A. $-\frac{5}{3}$
B. $-\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{3}$

答案： 解
(1)因为函数$f(x+2)$为偶函数，所以函数$y=f(x)$的图像关于直线$x=2$对称，即$f(2-x)=f(2+x)$。又因为$f(2x+1)$为奇函数，所以$f(-2x+1)=-f(2x+1)$。设$g(x)=f(2x+1)$，则$g(0)=0$，所以$f(1)=0$，所以$f(-1)=-f(3)=-f(1)=0$。又易得函数$f(x)$是周期为4的周期函数，所以$f(-\frac{1}{2})$，$f(2)$，$f(4)$不一定为0。故选B。
(2)因为$f(x+1)$为奇函数，所以函数$f(x)$的图像关于点$(1,0)$对称，即有$f(x)+f(2-x)=0$，所以$f(1)+f(2-1)=0$，得$f(1)=0$，即$a+b=0$ ①。因为$f(x+2)$为偶函数，所以函数$f(x)$的图像关于直线$x=2$对称，即有$f(x)-f(4-x)=0$，所以$f(0)+f(3)=-f(2)+f(1)=-4a-b+a+b=-3a=6$ ②。根据①②可得$a=-2$，$b=2$，所以当$x∈[1,2]$时，$f(x)=-2x^2+2$。根据函数$f(x)$的图像关于直线$x=2$对称，且关于点$(1,0)$对称，可得函数$f(x)$的周期为4，所以$f(\frac{9}{2})=f(\frac{1}{2})=-f(\frac{3}{2})=2×(\frac{3}{2})^2-2=\frac{5}{2}$。故选D。
(3)因为$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$。又$f(1+x)=f(-x)$，所以$f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[-(1+x)]=-f(1+x)=-f(-x)=f(x)$，所以函数$f(x)$是以2为周期的周期函数，$f(\frac{5}{3})=f(\frac{5}{3}-2)=f(-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}$。故选C。
答
(1)B
(2)D
(3)C

例3 (1)(新高考Ⅰ)若定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$在$(-∞,0)$单调递减，且$f(2)=0$，则满足$xf(x-1)≥0$的$x$的取值范围是()。
A. $[-1,1]∪[3,+∞)$
B. $[-3,-1]∪[0,1]$
C. $[-1,0]∪[1,+∞)$
D. $[-1,0]∪[1,3]$
(2)(全国Ⅰ高考)函数$f(x)$在$(-∞,+∞)$单调递减，且为奇函数。若$f(1)=-1$，则满足$-1≤f(x-2)≤1$的$x$的取值范围是()。
A. $[-2,2]$
B. $[-1,1]$
C. $[0,4]$
D. $[1,3]$

答案： 解
(1)奇函数$f(x)$在$(-∞,0)$单调递减，且$f(2)=0$，则$f(x)$在$(0,+∞)$单调递减，且$f(-2)=0$。由$xf(x-1)≥0$，得$\begin{cases} x≤0, \\ f(x-1)≤0 \end{cases}$或$\begin{cases} x≥0, \\ f(x-1)≥0, \end{cases}$即$\begin{cases} x≤0, \\ -2≤x-1≤0 \end{cases}$或$\begin{cases} x≥0, \\ 0≤x-1≤2, \end{cases}$解得$-1≤x≤0$或$1≤x≤3$。故选D。
(2)
∵函数$f(x)$在$(-∞,+∞)$单调递减，且为奇函数，$f(1)=-1$，
∴$f(-1)=-f(1)=1$。由$-1≤f(x-2)≤1$，得$f(1)≤f(x-2)≤f(-1)$，
∴$-1≤x-2≤1$，
∴$1≤x≤3$。故选D。
答
(1)D
(2)D