《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

7.(能力点3,6)画出二次函数$f(x)=-x^{2}+2x+3$的图像，并根据图像回答下列问题：
(1)比较$f(0),f(1),f(3)$的大小；
(2)求$y=f(x),x∈[0,3]$的值域；
(3)求不等式$xf(x)＜0$的解集。

答案：
(1) $f(3) ＜ f(0) ＜ f(1)$；
(2) $[0,4]$；
(3) $(-1,0)\cup(3,+\infty)$。

8.(2024·河南师大附中期中·能力点4)已知$a,b$是常数，$a≠0,f(x)=ax^{2}+bx,f(2)=0$，且方程$f(x)=x$有两个相等的实数根。
(1)求$a,b$的值。
(2)是否存在实数$m,n(m＜n)$，使得$f(x)$的定义域和值域分别为$[m,n]$和$[2m,2n]$？若存在，求出实数$m,n$的值；若不存在，请说明理由。

答案：
(1)
由$f(2)=0$可得$4a + 2b = 0$，即$b = - 2a$。
$f(x)=x$可化为$ax^{2}+(b - 1)x = 0$，因为方程$f(x)=x$有两个相等的实数根，所以$\Delta=(b - 1)^{2}=0$，即$b = 1$。
把$b = 1$代入$b = - 2a$，得$a=-\frac{1}{2}$。
所以$a = -\frac{1}{2}$，$b = 1$。
(2)
由
(1)知$f(x)=-\frac{1}{2}x^{2}+x=-\frac{1}{2}(x - 1)^{2}+\frac{1}{2}$，其定义域为$R$，对称轴为$x = 1$，最大值为$\frac{1}{2}$。
因为$f(x)$的定义域和值域分别为$[m,n]$和$[2m,2n]$，所以$2n\leqslant\frac{1}{2}$，即$n\leqslant\frac{1}{4}$。
而函数$y = f(x)$的对称轴$x = 1\notin[m,n]$，又$m\lt n\leqslant\frac{1}{4}\lt1$，所以$f(x)$在$[m,n]$上单调递增。
则$\begin{cases}f(m)=2m\\f(n)=2n\end{cases}$，即$\begin{cases}-\frac{1}{2}m^{2}+m = 2m\\-\frac{1}{2}n^{2}+n = 2n\end{cases}$，
由$-\frac{1}{2}m^{2}+m = 2m$可得$m^{2}+2m = 0$，解得$m = 0$或$m=-2$；
由$-\frac{1}{2}n^{2}+n = 2n$可得$n^{2}+2n = 0$，解得$n = 0$或$n=-2$。
又$m\lt n$，所以$\begin{cases}m=-2\\n = 0\end{cases}$。
综上，
(1)$a = -\frac{1}{2}$，$b = 1$；
(2)存在，$m=-2$，$n = 0$。