《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1 2024·北京四中期中
(多选)下列说法正确的是()。

A.已知$p$:$f(x)$的定义域关于原点对称，$q$:$f(x)$是偶函数，则$p$是$q$的充要条件
B.已知$p$:$f(x)(x∈\mathbf{R})$是偶函数，$q$:$f(-2)=f(2)$，则$p$是$q$的充分且不必要条件
C.已知$p$:$f(x)$既是奇函数又是偶函数，$q$:$f(x)=0(x∈\mathbf{R})$，则$p$是$q$的充要条件
D.若$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的奇函数，则$f(0)=0$

答案： 解 对于A，若$f(x)$是偶函数，则$f(x)$的定义域一定关于原点对称，反之，则不成立，所以$p$是$q$的必要且不充分条件，故A为假命题。对于B，仅凭两个特殊的函数值相等不足以判定函数的奇偶性，但若$f(x)(x∈\mathbf{R})$是偶函数，可以得出对任意的$x∈\mathbf{R}$，都有$f(-x)=f(x)$成立，所以$p$是$q$的充分且不必要条件，故B为真命题。对于C，$f(x)=0$，定义域为$[-1,1]$时，该函数既是奇函数又是偶函数，因此$p\nRightarrow q$。事实上，由$f(x)=0$，$x∈A$，只要$A$关于原点对称，都可以得到$f(x)$既是奇函数又是偶函数，所以$p$是$q$的必要且不充分条件，故C为假命题。对于D，因为$f(x)$是奇函数，且定义域为$\mathbf{R}$，所以对任意的$x∈\mathbf{R}$都有$f(-x)=-f(x)$，令$x=0$，则$f(-0)=-f(0)$，即$f(0)=0$，故D为真命题。
答 BD