《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4-5
若正实数$a,b$满足$ab = a + b + 3$,则$ab$的最小
值为。

答案： 解 $\because ab = a + b + 3,\therefore (a - 1) · b = a + 3$。
$\because a ＞ 0,b ＞ 0,\therefore a - 1 ＞ 0,$即$a ＞ 1,\therefore b = \frac{a + 3}{a - 1}$，
$\therefore ab = a · \frac{a + 3}{a - 1} = \frac{a^{2} + 3a}{a - 1} =$
$\frac{(a - 1)^{2} + 5(a - 1) + 4}{a - 1} = (a - 1) + \frac{4}{a - 1} + 5$。
$\because a ＞ 1,\therefore a - 1 + \frac{4}{a - 1} \geq2\sqrt{(a - 1) · \frac{4}{a - 1}} =$
$4$，当且仅当$a - 1 = \frac{4}{a - 1}$，即$a = 3$时，取等号，
此时$b = 3,\therefore ab\geq9,\therefore ab$的最小值为$9$。
答 9

例4-6
若$x ＞ 0,y ＞ 0$,且$2x^{2} + \frac{y^{2}}{3} = 8$,求
$x\sqrt{6 + 2y^{2}}$的最大值。

答案： 答 $(x\sqrt{6 + 2y^{2}})^{2} = x^{2}(6 + 2y^{2}) = 3 · 2x^{2}(1 +$
$\frac{y^{2}}{3}) \leq3 · (\frac{2x^{2} + 1 + \frac{y^{2}}{3}}{2})^{2} = 3 · (\frac{9}{2})^{2} = \frac{243}{4}$，
当且仅当$2x^{2} = 1 + \frac{y^{2}}{3}$，即$x = \frac{3}{2},y = \frac{\sqrt{42}}{2}$时，等
号成立。
故$x\sqrt{6 + 2y^{2}}$的最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{2}$。

例4-7
某商品进货价每件$50$元，据市场调查，当销售价
格(每件$x$元)为$50 ＜ x\leq80$时，每天售出的
件数为$P = \frac{10^{5}}{(x - 40)^{2}}$,若要使每天获得的利润
最多，销售价格每件应定为多少元？

答案： 答 已知销售价格为每件$x$元$(50 ＜ x\leq80)$，设
每天获得的利润为$y$元，则
$y = (x - 50) · P = \frac{10^{5}(x - 50)}{(x - 40)^{2}}$。
令$x - 50 = t$，则$x = 50 + t,0 ＜ t\leq30$，
$\therefore y =$
$\frac{10^{5}t}{(t + 10)^{2}} = \frac{10^{5}t}{t^{2} + 20t + 100} = \frac{10^{5}}{t + \frac{100}{t} + 20} \leq$
$\frac{10^{5}}{20 + 20} = 2500$，
当且仅当$t = \frac{100}{t}$，即$t = 10$，即$x = 60$时，$y_{\max} = 2500$，
$\therefore$销售价格每件应定为$60$元。

例5-1 北京高考
某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
①男学生人数多于女学生人数；
②女学生人数多于教师人数；
③教师人数的两倍多于男学生人数。
(1)若教师人数为$4$，则女学生人数的最大值为；

答案： 解
(1)设男学生、女学生分别有$x$人、$y$人，若
教师为$4$人，则$\begin{cases}x ＞ y,\\y ＞ 4,\\2 × 4 ＞ x,\end{cases}$
解得$4 ＜ y ＜ x ＜ 8$。
即$x$的最大值为$7$,$y$的最大值为$6$，
即女学生人数的最大值为$6$。
(2)设男、女学生分别有$x$人、$y$人，教师有$z$人，
$\begin{cases}x ＞ y,\\y ＞ z,\\2z ＞ x,\end{cases}$解得$z ＜ y ＜ x ＜ 2z$。
即$z$最小为$3$才能满足条件。
此时$x$最小为$5$,$y$最小为$4$。
即该小组人数的最小值为$3 + 4 + 5 = 12$。
答
(1)$6$
(2)$12$