《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例2-2 设函数$f(x)$和$g(x)$分别是$\mathbf{R}$上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是()。

A.$|f(x)|-g(x)$是奇函数
B.$|f(x)|+g(x)$是偶函数
C.$f(x)-|g(x)|$是奇函数
D.$f(x)+|g(x)|$是偶函数

答案： 解 由$f(x)$是偶函数可得$f(-x)=f(x)$，所以$|f(-x)|=|f(x)|$，所以$|f(x)|$为偶函数，所以$|f(x)|-g(x)$和$|f(x)|+g(x)$均不能确定奇偶性，故A，B不正确。由$g(x)$是奇函数可得$g(-x)=-g(x)$，所以$|g(-x)|=|g(x)|$，所以$|g(x)|$为偶函数，所以$f(x)+|g(x)|$为偶函数，$f(x)-|g(x)|$为偶函数，故D正确，C不正确。
答 D

例3 （1）已知函数$f(x)$为$\mathbf{R}$上的偶函数，且当$x＜0$时，$f(x)=x^2-2x$，则当$x＞0$时，$f(x)=$；
(2)已知函数$f(x)$为$\mathbf{R}$上的奇函数，且当$x＞0$时，$f(x)=x^2-2x+1$，则$f(x)$的解析式为$f(x)=$。

答案： 解 （1）设$x＞0$，则$-x＜0$。
∵$f(x)$为$\mathbf{R}$上的偶函数，
∴$f(x)=f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x$。
（2）设$x＜0$，则$-x＞0$。
∵$f(x)$为$\mathbf{R}$上的奇函数，
∴$f(x)=-f(-x)=-[(-x)^2-2(-x)+1]=-x^2-2x-1$。
当$x=0$时，$f(0)=0$，
∴$f(x)=\begin{cases} x^2-2x+1,x＞0, \\ 0,x=0, \\ -x^2-2x-1,x＜0。 \end{cases}$
答 （1）$x^2+2x$ （2）$\begin{cases} x^2-2x+1,x＞0, \\ 0,x=0, \\ -x^2-2x-1,x＜0 \end{cases}$