《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1−1 2024.辽宁沈阳31中试
(多选)已知sinθ=−$\frac{2}{3}$,且cosθ＞0,则()。

A.tanθ＜0
B.tan2θ＞$\frac{4}{9}$
C.sin²θ＞cos²θ
D.cosθ=$\frac{5}{9}$

答案： 解
∵sinθ=−$\frac{2}{3}$,且cosθ＞0,，
∴cosθ=
(k∈z)√1−(|$\frac{2}{3}${$\frac{\sqrt{5}}{3}$
∴tanθ=$\frac{sin0}{cOSθ}$=−$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜
0,tan²θ=$\frac{4}{5}$＞$\frac{4}{9}$,$\frac{4}{9}$=sin²θ＜cos²θ=$\frac{5}{9}$。
答AB

例1−2
(1)已知sinθ+cosθ=$\frac{4}{3}$,且0＜θ＜$\frac{H}{4}$,则
sinθ−cosθ的值为()。
A.$\frac{√2}{3}$
B.−$\frac{√2}{3}$ 第
[辨析比较]
①注意“同角”,这里“同角”有两层含义，一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达形式无关,如sin²3α+cos23α=1成立,但是sin²α+
cos²β=1就不一定成立。
②sin²α是(sinα)²的简写,读作“sinα的平方”,不能将sin²α写成sinα²,前者是α的正弦的平方,后者是α²的正弦,两者是不同的,要弄清它们的区别,并能正确书写。
③注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,sin²α+cos2α=1对一切αeR恒成立,而tanα=$\frac{sinQ}{cOSQ}$. 仅对α≠$\frac{H}{2}$+kπ(k∈Z)成立。
(2)基本关系式的变形公式
sin²α+cos²α=1=
sin²α=1−cos2α,
cos2α=1−sin²α,
sinα=±$\sqrt{1−cos²α}$
cOSα=± $\sqrt{1−sin²α}$
{
(sinα±cosα)²=1±2sinαcosα。
tanα=$\frac{sinQ}{coSa}$. ⇒{sciOnSαQ==t$\frac{sinQ}{tana}$a.nαc。osα,
C.$\frac{1}{3}$
D.−$\frac{1}{3}$
(2)已知$\frac{1+2sinθcosθ}{cos²θ−sin²0}$=−3,则tanθ=
()。
A.−1
B.−1或2
C.1或−2
D.2

答案： 解
(1)
∵sinθ+cosθ=$\frac{4}{3}$
∴1+2sin0cosθ=
$\frac{16}{9}$
∴2sinθcos0=$\frac{7}{9}$。又0＜θ＜$\frac{H}{4}$,
∴sinθ−cosθ＜0,
∴sinθ−cosθ=
−√(sin6$\sqrt{−cos0)²}$=− $\sqrt{1−2sin0cos0}$=
−$\frac{√2}{3}$。故选B。
(2)由$\frac{1+2sinθcosθ}{cos²θ−sin²0}$= −3,可得2
$\frac{sin²θ+cosθ+2sin0cos0}{cos²θ−sin²0}$−$\frac{tan²0+1+2tan0}{1−tan²0}$=
−3,解得tanθ=2。故选D。
答
(1)B
(2)D