《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4 2024·湖北麻城一中期中

答案： 解下列不等式:
(1) $\frac{x+2}{1-x} ＜ 0$;
(2) $\frac{x+1}{x-2} \leqslant 2$。
答
(1) 由 $\frac{x+2}{1-x} ＜ 0$, 得 $\frac{x+2}{x-1} ＞ 0$, 此不等式等价于 $(x+2) · (x-1) ＞ 0$, $\therefore$ 原不等式的解集为 $\{x | x ＜ -2 或 x ＞ 1\}$。
(2) 移项得 $\frac{x+1}{x-2} - 2 \leqslant 0$, 左边通分并化简得 $\frac{-x+5}{x-2} \leqslant 0$, 即 $\frac{x-5}{x-2} \geqslant 0$, 即 $\begin{cases} (x-2)(x-5) \geqslant 0, \\ x-2 \neq 0, \end{cases}$ $\therefore x ＜ 2 或 x \geqslant 5$. $\therefore$ 原不等式的解集为 $\{x | x ＜ 2 或 x \geqslant 5\}$。

例5
某摩托车生产企业, 上年度生产摩托车的投入成本为 $1$ 万元/辆, 出厂价为 $1.2$ 万元/辆, 年销售量为 $1000$ 辆。本年度为适应市场需求, 计划提高产品档次, 适度增加投入成本。若每辆车投入成本增加的比例为 $x (0 ＜ x ＜ 1)$, 则出厂价相应提高的比例为 $0.75x$, 同时预计年销售量增加的比例为 $0.6x$。已知年利润 $=$ (出厂价 $-$ 投入成本) $×$ 年销售量。
(1) 写出本年度预计的年利润 $y$ 与投入成本增加的比例 $x$ 的关系式;
(2) 为使本年度的年利润比上年度有所增加, 问投入成本增加的比例 $x$ 应在什么范围内?
将实际的不等关系写成对应的不等式时, 应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换, 这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系。我们需要正确掌握常见的文字语言与数学符号之间的对应关系。

答案： 答题模板
求解不等式应用题的四个步骤
(1) 阅读、理解、审题, 把握问题中的关键量, 找准不等关系。
(2) 引进数学符号, 将文字信息转化为符号语言, 用不等式表示不等关系, 建立相应的数学模型。
(3) 解不等式, 得出数学结论, 并注意数学模型中自变量的实际意义。
(4) 回归实际问题, 将数学结论还原为实际问题的结果。
答
(1) 由题意得 $y = [1.2 × (1 + 0.75x) - 1 × (1 + x)] × 1000 × (1 + 0.6x) (0 ＜ x ＜ 1)$, 整理得 $y = -60x^2 + 20x + 200 (0 ＜ x ＜ 1)$。
(2) 要保证本年度的利润比上年度有所增加, 当且仅当 $\begin{cases} y - (1.2 - 1) × 1000 ＞ 0, \\ 0 ＜ x ＜ 1, \end{cases}$ 即 $\begin{cases} -60x^2 + 20x ＞ 0, \\ 0 ＜ x ＜ 1, \end{cases}$ 解不等式组得 $0 ＜ x ＜ \frac{1}{3}$, 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加, 投入成本增加的比例 $x$ 的范围为 $\left\{x \left| 0 ＜ x ＜ \frac{1}{3}\right.\right\}$。