《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

4. (2024·湖北沙市中学期末·能力点1,5)(多选)对于函数$f(x)=\frac{x}{2+|x|}(x∈\mathbf{R})$，下列判断正确的是()。

A.$f(-x)+f(x)=0$
B.当$m∈(0,1)$时，方程$f(x)=m$总有实数解
C.函数$f(x)$的值域为$[-1,1]$
D.函数$f(x)$的单调递增区间为$(-∞,+∞)$

答案： ABD

5. (2024·吉林长春期中·能力点1,3)(多选)已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，当$x＞0$时，$f(x)=x^2+x+5$，则()。

A.$f(0)=0$
B.函数$g(x)=xf(x)$为奇函数
C.$f(-1)=-7$
D.当$x＜0$时，$f(x)=-x^2+x-5$

答案： ACD

6. (能力点4)若函数$f(x)$称为“准奇函数”，则必存在常数$a$，$b$，使得对定义域内的任意$x$值，均有$f(x)+f(2a-x)=2b$。请写出一个$a=2$，$b=2$的“准奇函数”：(填写解析式)。

答案： $f(x)=x$（答案不唯一）

7. （2024·安徽马鞍山期末·能力点3,5）已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，当$x≥0$时，$f(x)=ax^2+x+a-1$。
（1）求函数$f(x)$的解析式；
（2）若对任意的$t∈[0,2]$，$f(m+t)+f(2t^2-3t)＞0$恒成立，求$m$的取值范围。

答案： （1）$f(x)=\begin{cases}x^2 + x, & x\geq0 \\ -x^2 + x, & x＜0\end{cases}$；（2）$\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$。

8. （2024·江西南昌模拟·能力点1,3,5）已知定义在$(-∞,0)∪(0,+∞)$上的函数$f(x)$满足：①$\forall x,y∈(-∞,0)∪(0,+∞)$，$f(x·y)=f(x)+f(y)$；②当$x＞1$时，$f(x)＞0$，且$f(2)=1$。
（1）试判断函数$f(x)$的奇偶性；
（2）判断函数$f(x)$在$(0,+∞)$上的单调性；
（3）求函数$f(x)$在区间$[-4,0)∪(0,4]$上的最大值；
（4）求不等式$f(3x-2)+f(x)≥4$的解集。

答案： （1）
令$x = y = 1$，由$f(x· y)=f(x)+f(y)$得$f(1)=f(1)+f(1)$，所以$f(1) = 0$；
令$x = y = - 1$，则$f(1)=f(-1)+f(-1)$，所以$f(-1)=0$；
令$y = - 1$，则$f(-x)=f(x)+f(-1)$，所以$f(-x)=f(x)$，又因为函数$f(x)$的定义域关于原点对称，所以$f(x)$是偶函数。
（2）
设$x_1,x_2\in(0,+\infty)$，且$x_1\lt x_2$，则$\frac{x_2}{x_1}\gt1$，所以$f(\frac{x_2}{x_1})\gt0$；
$f(x_2)-f(x_1)=f(x_1·\frac{x_2}{x_1})-f(x_1)=f(x_1)+f(\frac{x_2}{x_1})-f(x_1)=f(\frac{x_2}{x_1})\gt0$，即$f(x_2)\gt f(x_1)$，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。
（3）
因为$f(x)$是偶函数，所以$f(x)$在$[-4,0)\cup(0,4]$上的最大值在$x = \pm4$处取得；
$f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2$，$f(-4)=f(4)=2$，所以$f(x)$在区间$[-4,0)\cup(0,4]$上的最大值为$2$。
（4）
因为$f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=4$，所以$f(3x - 2)+f(x)\geq4$可化为$f((3x - 2)x)\geq f(16)$；
因为$f(x)$是偶函数，所以$f(|(3x - 2)x|)\geq f(16)$；
又因为$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$|(3x - 2)x|\geq16$，即$(3x - 2)x\geq16$或$(3x - 2)x\leq - 16$；
由$(3x - 2)x\geq16$得$3x^2 - 2x - 16\geq0$，解得$x\leq - 2$或$x\geq\frac{8}{3}$；
$(3x - 2)x\leq - 16$，$3x^2 - 2x + 16\leq0$，$\Delta=4 - 192\lt0$，无解；
又因为$3x - 2\neq0$且$x\neq0$，所以不等式$f(3x - 2)+f(x)\geq4$的解集为$\left\{x\mid x\leq - 2或x\geq\frac{8}{3}\right\}$。