《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1
已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2,x＞0,\\1,x=0,\\0,x＜0,\end{cases}$指出函数$f(x)$的值域。
错解 当$x＜0$时，其值域为$\{0\}$；当$x=0$时，其值域为$\{1\}$；当$x＞0$时，其值域为$(0,+\infty)$。
错因分析 导致上述错解的原因是对分段函数的理解不透彻。
正解 因为$f(x)=\begin{cases}x^2,x＞0,\\1,x=0,\\0,x＜0,\end{cases}$所以该函数的图像是由开口向上的抛物线的一部分，一个点及一条射线（不包括端点）构成的，图像如图5-2-8所示，由图可知$x\in\mathbf{R},y\in(0,+\infty)\cup\{1\}\cup\{0\}=[0,+\infty)$。
满分策略 分段函数是一个函数，不要误认为它是“几个函数”，求其定义域或值域时要取各段定义域或值域的并集。

答案： 函数 $f(x)$ 的表达式为：
$f(x)=\begin{cases}x^2, x ＞ 0 ,\\1, x = 0 ,\\0, x ＜ 0.\end{cases}$
当 $x ＞ 0$ 时，$f(x) = x^2$，值域为 $(0, +\infty)$。
当 $x = 0$ 时，$f(x) = 1$，值域为 $\{1\}$。
当 $x ＜ 0$ 时，$f(x) = 0$，值域为 $\{0\}$。
将各段值域取并集，得到函数 $f(x)$ 的值域为：
$[0, +\infty)$，
最终答案是：
$[0, +\infty)$。

例2
画出函数$y=\frac{x^2+2x-3}{x-1}$的图像，并根据图像指出函数的值域。
错解 由题意，得$y=\frac{x^2+2x-3}{x-1}=\frac{(x+3)(x-1)}{x-1}=x+3$，画出函数图像如图5-2-9所示，由图像可知，值域为$\mathbf{R}$。
错因分析 错解在化简函数时，忽略了函数的定义域$\{x|x\neq1\}$。
正解 由题意，得$y=\frac{x^2+2x-3}{x-1}=\frac{(x+3)(x-1)}{x-1}=x+3(x\neq1)$，画出函数图像如图5-2-10所示。
根据图像可知，该函数的值域为$\{y|y\in\mathbf{R},$且$y\neq4\}$。
满分策略 在对函数解析式进行变形的过程中，一定要注意其等价性，特别要注意定义域是否发生了变化。

答案： 函数为 $y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}$。
将分子因式分解：
$x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$。
因此，函数可以表示为：
$y = \frac{(x + 3)(x - 1)}{x - 1} = x + 3 \quad (x \neq 1)$。
由于分母 $x - 1 \neq 0$，所以 $x \neq 1$。
当 $x \neq 1$ 时，函数简化为 $y = x + 3$，这是一条斜率为 1 的直线，但去掉点 $(1, 4)$。
根据图像，函数的值域为 $\{ y \mid y \in \mathbf{R}, y \neq 4 \}$。

例1-1 2021·浙江高考
已知$a\in\mathbf{R}$，函数$f(x)=\begin{cases}x^2-4,x＞2,\\|x-3|+a,x\leqslant2。\end{cases}$若$f(f(\sqrt{6}))=3$，则$a=$ ______ 。

答案： 解 因为$\sqrt{6}＞2$，所以$f(\sqrt{6})=6-4=2$，所以$f(f(\sqrt{6}))=f(2)=1+a=3$，解得$a=2$。
答 2