《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例2-2 化简:(1)$\sqrt{a·\sqrt[3]{a·\sqrt{a}}}(a＞0)$;
(2)$(a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}})·(-3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}})÷(\frac{1}{3}a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{5}{6}})(a＞0,b＞0)$。

答案： 答
(1)方法一(从里向外化):
$\sqrt{a·\sqrt[3]{a·\sqrt{a}}}=\sqrt{a·\sqrt[3]{a· a^{\frac{1}{2}}}}=\sqrt{a·(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}}}=\sqrt{a· a^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{a^{\frac{3}{2}}}=a^{\frac{3}{4}}$。
方法二(由外向里化):
$\sqrt{a·\sqrt[3]{a·\sqrt{a}}}=(a·\sqrt[3]{a·\sqrt{a}})^{\frac{1}{2}}=[a·(a·\sqrt{a})^{\frac{1}{3}}]^{\frac{1}{2}}=[a·(a· a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}]^{\frac{1}{2}}=(a· a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{3}{4}}$。
(2)$(a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}})·(-3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}})÷(\frac{1}{3}a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{5}{6}})=[(-3)×3]· a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}}· b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{5}{6}}=-9a^{1}b^{0}=-9a$。