《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1-2
比较三个数$0.3^2,\log_2 0.3,2^{0.3}$的大小。

答案：
答　方法一：$\because 0＜0.3^2＜1^2 = 1$，$\log_2 0.3＜\log_2 1 = 0$，$2^{0.3}＞2^0 = 1$，$\therefore \log_2 0.3＜0.3^2＜2^{0.3}$。
方法二：作出函数$y = x^2,y = \log_2 x,y = 2^x,x = 0.3$的图像，如图6-1所示，
根据直线$x = 0.3$与三个函数图像的交点位置，即可看出$\log_2 0.3＜0.3^2＜2^{0.3}$。

例1-3
比较下列各组数的大小：
(1)$2^{-\frac{1}{2}},0.3^{-\frac{1}{5}}$；
(2)$\log_2 \frac{5}{24},\log_3 \frac{13}{108}$。

答案： 答　
(1)由指数函数$y = 2^x$与$y = 0.3^x$的图像与性质可知$2^{-\frac{1}{2}}＜1,0.3^{-\frac{1}{5}}＞1$，$\therefore 2^{-\frac{1}{2}}＜0.3^{-\frac{1}{5}}$。
(2)根据对数运算法则，$\log_2 \frac{5}{24} = \log_2 (\frac{1}{8} × \frac{5}{3}) = \log_2 \frac{1}{8} + \log_2 \frac{5}{3} = -3 + \log_2 \frac{5}{3}$，$\log_3 \frac{13}{108} = \log_3 (\frac{1}{9} × \frac{13}{12}) = \log_3 \frac{1}{9} + \log_3 \frac{13}{12} = -2 + \log_3 \frac{13}{12}$。
$\because \log_2 \frac{5}{3}＜\log_2 2 = 1,\log_3 \frac{13}{12}＞\log_3 1 = 0$，$\therefore -3 + \log_2 \frac{5}{3}＜-2$，$-2 + \log_3 \frac{13}{12}＞-2$，从而$\log_2 \frac{5}{24}＜-2＜\log_3 \frac{13}{108}$，$\therefore \log_2 \frac{5}{24}＜\log_3 \frac{13}{108}$。
点拨　比较两数大小时，不是直接去比较这两个数的大小，而是借助第三个数，即中间值来搭桥传递比较出二者的大小，这就是中间值法，常用的中间值有0或1，有时根据具体情况灵活选择中间值。

例1-4
比较$(\frac{1}{5})^{\frac{1}{3}}$与$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}$的大小。

答案： 答　$\because (\frac{1}{5})^{\frac{1}{3}} = (\frac{2}{5})^{\frac{1}{3}}＜1$，且$(\frac{1}{5})^{\frac{1}{3}}＞0,(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}＞0$，$\therefore (\frac{1}{5})^{\frac{1}{3}}＜(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}$。

例1-5
将$(\frac{5}{4})^{\frac{1}{3}},2^{\frac{2}{3}},(-\frac{3}{4})^3,(\frac{4}{5})^{\frac{1}{2}}$用“$＜$”连接起来。

答案： 答　先将这4个数分成三类：
(1)负数：$(-\frac{3}{4})^3$；
(2)大于1的数：$(\frac{5}{4})^{\frac{1}{3}},2^{\frac{2}{3}}$，且$(\frac{5}{4})^{\frac{1}{3}}＜2^{\frac{2}{3}}$；
(3)大于0且小于1的数：$(\frac{4}{5})^{\frac{1}{2}}$。
所以以上四个数的排列顺序为$(-\frac{3}{4})^3＜(\frac{4}{5})^{\frac{1}{2}}＜(\frac{5}{4})^{\frac{1}{3}}＜2^{\frac{2}{3}}$。
点拨　对于三个以上的数的大小比较，一般是先对其进行分类，根据实际问题常分成三类：一类是负数，一类是大于0且小于1的数，一类是大于1的数，再对这三类数分别进行比较。