《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例2-1
求下列函数的定义域：
(1)$f(x)=\frac {\sqrt {x+5}}{|x|-2}$；
(2)$y=\frac {\sqrt {x^{2}-1}+\sqrt {1-x^{2}}}{x+1}$。

答案： 答
(1)要使函数有意义，需满足$\left\{\begin{array}{l} x+5≥0,\\ |x|-2≠0\end{array}\right. $即$\left\{\begin{array}{l} x≥-5,\\ x≠\pm 2,\end{array}\right. $
即$-5≤x＜-2$或$-2＜x＜2$或$x＞2$。
故函数$f(x)=\frac {\sqrt {x+5}}{|x|-2}$的定义域为$[-5,-2)\cup (-2,2)\cup (2,+\infty )$。
(2)要使函数有意义，需满足$\left\{\begin{array}{l} x^{2}-1≥0,\\ 1-x^{2}≥0,\\ x+1≠0,\end{array}\right. $解得$x=1$。故函数$y=\frac {\sqrt {x^{2}-1}+\sqrt {1-x^{2}}}{x+1}$的定义域为$\{ 1\} $。

例2-2
(1)已知函数$f(x)$的定义域为$[-1,5]$，求函数$f(x-5)$的定义域；
(2)已知函数$f(x-1)$的定义域是$[0,3]$，求函数$f(x)$的定义域；
(3)若函数$f(x)$的定义域为$[0,1]$，求函数$g(x)=f(x+m)+f(x-m)(m＞0)$的定义域。

答案： 答
(1)由$-1≤x-5≤5$，得$4≤x≤10$，所以函数$f(x-5)$的定义域是$[4,10]$。
(2)由$0≤x≤3$，得$-1≤x-1≤2$，
所以函数$f(x)$的定义域是$[-1,2]$。
(3)由题意得
$\left\{\begin{array}{l} 0≤x+m≤1,\\ 0≤x-m≤1\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} -m≤x≤1-m,\\ m≤x≤1+m\end{array}\right. $。
因为$-m＜m,1-m＜1+m$，而$m$与$1-m$的大小不确定，
所以需对$m$与$1-m$的大小进行讨论。
①若$m=1-m$，即$m=\frac {1}{2}$，则$x=m=\frac {1}{2}$；②若$m＜1-m$，即$0＜m＜\frac {1}{2}$，则$m≤x≤1-m$；③若$m＞1-m$，即$m＞\frac {1}{2}$，则$x∈\varnothing $，与题意不符，故$m$不可能大于$\frac {1}{2}$。
综上所述，当$0＜m≤\frac {1}{2}$时，函数$g(x)$的定义域为$\{ x|m≤x≤1-m\} $。