《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例12024.北京高考
设函数f(x)=sin∞x(∞＞0)。已知f(x)=
−1,f(x2)=1,且lx1−x2I的最小值为$\frac{H}{2}$,则似=()。

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 解由题意知,x为f(x)的最小值点,x2为f(x)的最大值点,则lx1−x2lmin=$\frac{T}{2}$=$\frac{H}{2}$,即T=
π,又∞＞0,所以∞=$\frac{21}{T}$=2。故选B。
答B

例2
(1)(2021.全国甲高考)设函数∮(x)的定义域
为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当
x∈[1,2]时,f(x)=ax²+b。若f(0)+f(3)=
6,则f($\frac{9}{2}$)=()。
A.−$\frac{9}{4}$ B.−$\frac{3}{2}$ C.$\frac{7}{4}$ D.$\frac{5}{2}$
(2)(2021.全国甲高考)设f(x)是定义域为R 的奇函数,且f(1+x)=f(−x)。若f−$\frac{1}{3}$)=
$\frac{1}{3}$,则$\frac{5}{3}$)=()。
A.−$\frac{5}{3}$ B.−$\frac{1}{3}$ C.$\frac{1}{3}$ D.$\frac{5}{3}$
(3)(江苏高考)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)
(x∈R),且在区间(−2,2]上,f(x)=
COS$\frac{TX}{2}$,0＜x≤2,
则 ∮(f(15)) 的值x+ ,−2＜x≤0,
{
| $\frac{1}{2}$|
为。

答案： 解
(1)因为f(x+1)为奇函数,所以∮(−x+1)=−f(x+1),即∮(2−x)=−f(x)①。因为f(x+2)为偶函数,所以∮(−x+2)=f(x+2),即∮(2−x)=∮(x+2)②。由①②得f(x+2)=
−f(x),所以∮(x+4)=−f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4。在①中取x=2得∮
(0)=−∮
(2)=−4a−b,在②中取x=−1得f
(3)=f
(1)=a+b,所以∮
(0)+f
(3)=−4a−b+(a+b)=6,解得a=−2;在①中取x=1得f
(1)=−f
(1),即f
(1)=0,所以a+b=0,所以b=2。所以当x∈[1,2]时,f(x)=−2x²+2。f($\frac{9}{2}$)=f(4+$\frac{1}{2}$)=f($\frac{1}{2}$),在①中取x=$\frac{3}{2}$得
f($\frac{1}{2}$)=−f($\frac{3}{2}$)=−[−2×($\frac{3}{2}$)2+2]=$\frac{5}{2}$,即f($\frac{9}{2}${=$\frac{5}{2}$。
(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以∮(−x)=−f(x)。又f(1+x)=f(−x),所以∮(2+x)=f[1+(1+x)]=f[−(1+x)]=
−∮(1+x)=−∮(−x)=f(x),所以函数f(x)是以2为周期的周期函数,所以f($\frac{5}{3}$)=f($\frac{5}{3}$−2)=f(−$\frac{1}{3}$)=$\frac{1}{3}$,故选C。
(3)因为函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),所以函数∮(x)的一个周期是4。因为在区
COS$\frac{TX}{2}$,0＜x≤2,
间(−2,2]上,f(x)= 所x+$\frac{1}{2}$,−2＜x≤0,
{
| |
以f(f
(15))=f(f(−1))=f($\frac{1}{2}${=COS$\frac{H}{4}$=
2°
答
(1)D
(2)C
(3)$\frac{√2}{2}$