《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1
求$x\sqrt {1-x^{2}}$的最大值。
错解 令$y=x\sqrt {1-x^{2}}$，则$y=\sqrt {x^{2}(1-x^{2})}\leqslant \frac {x^{2}+(1-x^{2})}{2}=\frac {1}{2}$，当且仅当$x^{2}=1-x^{2}$，即$x=\pm \frac {\sqrt {2}}{2}$时等号成立，则所求最大值为$\frac {1}{2}$。
错因分析 此解答过程错误，当$x＜0$时，$y=x\sqrt {1-x^{2}}≠\sqrt {x^{2}(1-x^{2})}$，忽视了对符号的关注。
正解 由$1-x^{2}\geqslant 0$知$-1\leqslant x\leqslant 1$。
当$0＜x＜1$时，$x\sqrt {1-x^{2}}=\sqrt {x^{2}(1-x^{2})}\leqslant \frac {x^{2}+(1-x^{2})}{2}=\frac {1}{2}$，当且仅当$x^{2}=1-x^{2}$，即$x=\frac {\sqrt {2}}{2}$时等号成立；
当$x=0$或$x=\pm 1$时，$x\sqrt {1-x^{2}}=0$；
当$-1＜x＜0$时，$x\sqrt {1-x^{2}}＜0$。
综上可知，$x\sqrt {1-x^{2}}$的最大值为$\frac {1}{2}$。
满分策略 运用基本不等式求最值时，解题错误的真正原因是忽视前提“一正、二定、三相等”，要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可。“一正”是首先要判断自变量是否为正数，只有确定自变量为正数，才可以用基本不等式求解。

答案： 由$1 - x^2 \geq 0$得定义域为$-1 \leq x \leq 1$。
当$0 ＜ x ＜ 1$时，$y = x\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{x^2(1 - x^2)}$，令$a = x^2$，$b = 1 - x^2$，则$a + b = 1$。由基本不等式$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$，得$\sqrt{x^2(1 - x^2)} \leq \frac{x^2 + (1 - x^2)}{2} = \frac{1}{2}$，当且仅当$x^2 = 1 - x^2$即$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$时等号成立。
当$x = 0$或$x = \pm 1$时，$y = 0$；当$-1 ＜ x ＜ 0$时，$y = x\sqrt{1 - x^2} ＜ 0$。
综上，$x\sqrt{1 - x^2}$的最大值为$\frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$

例2
已知$a＞3$，求$a+\frac {4}{a-3}$的最小值。
错解 $\because a＞3$，$\therefore \frac {4}{a-3}＞0$，$\therefore a+\frac {4}{a-3}\geqslant 2\sqrt {a· \frac {4}{a-3}}$。当$a=\frac {4}{a-3}$，即$a=4$时，$a+\frac {4}{a-3}$取最小值$2\sqrt {\frac {4a}{a-3}}=8$。
错因分析 此解答过程不对，它没有找出定值条件，只是机械地套用公式。
正解 $\because a＞3$，$\therefore a-3＞0$，$\frac {4}{a-3}＞0$，$\therefore a+\frac {4}{a-3}=(a-3)+\frac {4}{a-3}+3\geqslant 2\sqrt {(a-3)· \frac {4}{a-3}}+3=7$，当且仅当$a-3=\frac {4}{a-3}$，即$a=5$时等号成立。
满分策略 “二定”是要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小），要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧的运用，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件。

答案： $7$