《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例5
设集合M={1,2,3,4,5},若非空集合A满
足:①A⊆M;②IAI≤min(A)(其中IAI表示
集合A的元素个数,min(A)表示集合A中的
最小元素)。则称集合A是集合M的一个
“好子集”，则集合M的所有“好子集”的个
)。

A.10
B.11 

C.12 
D.13

答案： 解当IAI=1,即集合A中的元素个数为1
时,A的可能情况有{1},{2},{3},{4},
{5};当1AI=2,即集合A中的元素个数为2
时,A的可能情况有{2,3},{2,4},{2,5},
{3,4},{3,5},{4,5};当1A1=3,即集合A
中的元素个数为3时，A的可能情况有{3，
4,5}。所以集合M的所有“好子集”的个数
为12。故选C。
答C

例1
已知集合$A = \{ y|y = x^{2}-2x - 3,x\in\mathbf{R}\}$，$B = \{ y|y = -x^{2}+2x + 13,x\in\mathbf{R}\}$，则$A\cap B=$____。

答案： 错解
错解一：解方程组
$\begin{cases}y = x^{2}-2x - 3\\y = -x^{2}+2x + 13\end{cases}$
得
$\begin{cases}x = 4\\y = 5\end{cases}$
或
$\begin{cases}x = -2\\y = 5\end{cases}$
所以$A\cap B=\{(4,5),(-2,5)\}$。
故填$\{(4,5),(-2,5)\}$。
错解二：解方程组
$\begin{cases}y = x^{2}-2x - 3\\y = -x^{2}+2x + 13\end{cases}$
$\Rightarrow x^{2}-2x - 3=-x^{2}+2x + 13\Rightarrow x^{2}-2x - 8 = 0\Rightarrow x_{1}=-2,x_{2}=4$，所以$A\cap B=\{-2,4\}$。
故填$\{-2,4\}$。
错因分析，错解一把集合$A$与$B$当成了两个点集，从而求出了两条曲线的交点，没有正确理解两个集合的含义。
错解二则是错误地理解了$A\cap B$的含义，$A\cap B$是由同时属于$A$和$B$的所有元素组成的集合，因此，求解时，应分别求出两个集合的元素。
正解 由题意可知集合$A$，$B$分别是二次函数$y = x^{2}-2x - 3$和$y = -x^{2}+2x + 13$的函数值$y$的取值集合。
$A = \{ y|y=(x - 1)^{2}-4,x\in\mathbf{R}\} = \{ y|y\geqslant - 4\}$，
$B = \{ y|y = -(x - 1)^{2}+14,x\in\mathbf{R}\} = \{ y|y\leqslant14\}$。
因此$A\cap B = \{ y|-4\leqslant y\leqslant14\}$。