《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1 2024·四川成都七中月考
求下列函数的定义域。
(1)$f(x) = \frac{\lg(2 + x - x^2)}{|x| - x}$；
(2)$f(x) = \frac{1}{\ln(1 - 2x)^0}$。

答案： 答
(1) 要使函数有意义，需满足$\begin{cases} 2 + x - x^2 ＞ 0, \\ |x| - x \neq 0, \end{cases}$即$\begin{cases} x^2 - x - 2 ＜ 0, \\ |x| \neq x, \end{cases}$解得$-1 ＜ x ＜ 0$，因此函数$f(x)$的定义域为$(-1,0)$。
(2) 要使函数有意义，需满足$1 - 2x ＞ 0$，且$\ln(1 - 2x) \neq 0$，解得$x ＜ \frac{1}{2}$，且$x \neq 0$，即函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, 0) \cup (0, \frac{1}{2})$。

例2 已知函数$f(x) = (\log_4 x)^2 + \log_{\frac{1}{4}} \sqrt{x} - 3, x \in [1,8]$，求$f(x)$的值域以及$f(x)$取得最值时

答案： 解答过程：
1. 换元转化：设$ t = \log_4 x $，$ x \in [1,8] $。
由$ x \in [1,8] $，得$ t = \log_4 x \in [\log_4 1, \log_4 8] = [0, \frac{3}{2}] $。
又$ \log_{\frac{1}{4}} \sqrt{x} = \log_{4^{-1}} x^{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2} \log_4 x = -\frac{1}{2}t $，
故原函数化为$ f(x) = t^2 - \frac{1}{2}t - 3 $，即$ g(t) = t^2 - \frac{1}{2}t - 3 $，$ t \in [0, \frac{3}{2}] $。
2. 求二次函数最值：
$ g(t) = t^2 - \frac{1}{2}t - 3 $开口向上，对称轴$ t = \frac{1}{4} \in [0, \frac{3}{2}] $。
最小值：当$ t = \frac{1}{4} $时，$ g(t)_{ min} = (\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{2} · \frac{1}{4} - 3 = -\frac{49}{16} $。
最大值：比较端点值，$ g(0) = -3 $，$ g(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^2 - \frac{1}{2} · \frac{3}{2} - 3 = -\frac{3}{2} $，故$ g(t)_{ max} = -\frac{3}{2} $。
3. 反求$ x $值：
最小值时：$ t = \frac{1}{4} \Rightarrow \log_4 x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = 4^{\frac{1}{4}} = \sqrt{2} $。
最大值时：$ t = \frac{3}{2} \Rightarrow \log_4 x = \frac{3}{2} \Rightarrow x = 4^{\frac{3}{2}} = 8 $。
结论：
$ f(x) $的值域为$ [-\frac{49}{16}, -\frac{3}{2}] $；
当$ x = \sqrt{2} $时，$ f(x) $取最小值$ -\frac{49}{16} $；当$ x = 8 $时，$ f(x) $取最大值$ -\frac{3}{2} $。