《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4
设集合$A=\{x|x^{2}+4x=0,x\in \mathbf{R}\}$,$B=\{x|x^{2}+2(a+1)x+a^{2}-1=0,x\in \mathbf{R}\}$,若$B\subseteq A$,求实数a的取值范围。

答案： 答 $A=\{x|x^{2}+4x=0,x\in \mathbf{R}\}=\{-4,0\}$。
$\because B\subseteq A$,$\therefore$分$B=A$,$B\subsetneqq A$两种情况讨论。
(1)当$A=B$时,$B=\{-4,0\}$,即-4,0是方程$x^{2}+2(a+1)x+a^{2}-1=0$的两个实数根,于是得$a=1$。
(2)当$B\subsetneqq A$时,
若$B=\varnothing$,则$\Delta=4(a+1)^{2}-4(a^{2}-1)＜0$,解得$a＜-1$。
若$B\neq \varnothing$,则$B=\{-4\}$或$B=\{0\}$,$\Delta=4(a+1)^{2}-4(a^{2}-1)=0$,解得$a=-1$,验证知$B=\{0\}$满足条件。
综上可知,所求实数a的取值范围为$a=1$或$a\leq -1$。

例5-1
已知集合$A=\{x|x^{2}+3x-18＞0\}$,$B=\{x|(x-k)· (x-k-1)\leq 0\}$。若存在实数$x_{0}$,满足$x_{0}\in A$,且$x_{0}\in B$,求k的取值范围。

答案：
解 由题意知集合A与集合B有公共元素,求对应的k的取值范围,不好直接求解,可考虑问题的反面:先求A与B无公共元素时对应的k的取值范围,然后再取其“补集”,即可得要求的k的取值范围。
答 由已知可得$A=\{x|x＞3$或$x＜-6\}$,$B=\{x|k\leq x\leq k+1\}$。
若A与B无公共元素,如图1-2-9所示。
则$\begin{cases} k\geq -6, \\ k+1\leq 3 \end{cases}$,即$-6\leq k\leq 2$。

令$P=\{k|-6\leq k\leq 2\}$,则$\complement_{\mathbf{R}}P=\{k|k＜-6$或$k＞2\}$。
故若A与B有公共元素,即存在$x_{0}$满足$x_{0}\in A$,且$x_{0}\in B$,则k的取值范围是$\{k|k＜-6$或$k＞2\}$。
点评 求A与B有公共元素较困难时,可考虑求其反面,“正难则反”是一种重要的解题策略。